מגדל פיזה - בעזרת n לבנים זהות, באורך a ועובי b, בונים מגדל המתנשא לגובה nb. המגדל נבנה כך שכל לבנה בולטת מעט ביחס ללבנה שמתחתיה. הבעיה היא, בהינתן n לבנים, מהי צורת הבנייה האופטימלית? כלומר כיצד יש לבנות את המגדל כך שקצה המגדל יבלוט מרחק אופקי מקסימלי ביחס ללבנה התחתונה.
| פתרון
|
| פתרון הבעיה הוא הדגמה נאה של עקרון האינדוקציה. ראשית יש לנתח את המכניקה של הבעיה. ברור שהלבנה העליונה (שנקרא לה הלבנה הראשונה) חייבת לבלוט מרחק 1/2a ביחס ללבנה שמתחתיה, משום שרק כך היא "תישען" על קצה הלבנה שמתחתיה, כלומר כך הכוח הנורמלי בין שתי הלבנים יפעל כולו אך ורק בנקודת הקצה של הלבנה השנייה, או לחלופין, רק כך מרכז הכובד של הלבנה הראשונה ימצא בדיוק מעל הקצה של הלבנה השנייה. על מנת שהמגדל לבלוט למרחק אופקי מרבי, המגדל כולו חייב להיות על סף התמוטטות, כלומר הוא צריך להיבנות כך שכל אחת מהלבנים אינה יכולה לבלוט יותר ביחס לזו שמתחתיה. על מנת שכך, k הלבנים הראשונות (כלומר העליונות) חייבות להישען בדיוק על קצה הלבנה שמחזיקה אותן, כלומר מרכז המסה שלהן חייב להימצא בדיוק מעל קצה הלבנה שמחזיקה אותן. כעת נוכיח באינדוקציה את הטענה הבאה:
טענה: בצורת הבנייה האופטימלית, קצה הלבנה ה-k בולט בדיוק  ביחס לקצה הלבנה ה-k+1.
הוכחה: ברור שהטענה נכונה עבור k = 1. נניח שהיא נכונה עבור k כלשהו. כיוון שמרכז המסה של k המסות הראשונות הוא בעל שיעור אופקי זהה לזה של קצה הלבנה ה-k+1, ניתן לדמיין זאת כאילו מונחת משקולת נקודתית במסה km על קצה הלבנה ה-k+1. כיוון שבמרחק הסף המומנטים שיוצרים משקל המשקולת הדמיונית וכוח הכובד העובר דרך מרכז המסה של הלבנה ה-k+1 יחסית לנקודת המשען (קצה הלבנה ה-k+2) מאזנים זה את זה, נקבל שנקודת המשען מחלקת את המרחק בין אמצע הלבנה ה-k+1 לקצה שלה ביחס של 1:k, לכן המרחק שבולטת הלבנה ה-k+1 ביחס ללבנה מתחתיה הוא
 . זוהי צורת הבנייה האופטימלית, והמרחק המתקבל בין קצה הלבנה התחתונה לקצה הלבנה העליונה הוא :  , כלומר המרחק שווה לאורך לבנה בודדת כפול מחצית הטור ההרמוני. מהתבדרות הטור ההרמוני נובע שאין מגבלה תאורטית על המרחק האופקי אליו ניתן לבנות את המגדל.
|
|