פונקציית פיזור ריילי
בפיזיקה, פונקציית פיזור ריילי, הקרויה על שם הלורד ריילי, היא פונקציה המשמשת במכניקה אנליטית בטיפול בכוחות חיכוך פרופורציונליים למהירות. המשוואה הוצגה לראשונה בשנת 1873.[1] אם נתון כוח חיכוך על חלקיק עם מהירות $ {\vec {v}} $ ניתן לכתוב כ $ {\vec {F}}_{f}=-{\vec {k}}\cdot {\vec {v}} $, ניתן להגדיר את פונקציית פיזור של ריילי עבור מערכת של $ N $ חלקיקים:
- $ R(v)={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}(k_{x}v_{i,x}^{2}+k_{y}v_{i,y}^{2}+k_{z}v_{i,z}^{2}). $
כאשר, $ R(v) $ מייצג את מחצית מקצב איבוד האנרגיה של המערכת דרך חיכוך. כוח החיכוך הוא שלילי למהירות, $ {\vec {F}}_{f}=-\nabla _{v}R(v) $, אנלוגי לכוח השווה לגרדיאנט השלילי של הפוטנציאל. קשר זה מיוצג במונחים של הקואורדינטות המוכללות: $ q_{i}=\left\{q_{1},q_{2},\ldots q_{n}\right\} $.
- $ {\vec {F}}_{f}=-{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q}}_{i}}} $ .
בזמן שחיכוך הוא אינו כוח משמר, הוא מסומן כ- $ Q_{i} $ במשוואות לגראנז',
- $ {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=Q_{i} $ .
יישום ערכו של כוח החיכוך המתואר על ידי קואורדינטות מוכללות במשוואות אוילר-לגראנג' ייתן:[2]
- $ {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=-{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q}}_{i}}} $ .
ריילי ניסח את הלגראנז'יאן $ L $ כאנרגיה קינטית $ T $ מינוס האנרגיה הפוטנציאלית $ V $, אשר מניב את השוויון הבא
- $ {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q_{i}}}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q}}_{i}}}+{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}=0 $ .
מאז שנות ה-70 פונקציית הפיזור ידועה יותר בתור פוטנציאל הפיזור של ריילי.
הערות שוליים
- ↑ Rayleigh, Lord (1873). "Some general theorems relating to vibrations". Proc. London Math. Soc. s1-4: 357–368. doi:10.1112/plms/s1-4.1.357.
- ↑ Goldstein, Herbert (1980). Classical Mechanics (2nd ed.). Reading, MA: Addison-Wesley. p. 24. ISBN 0-201-02918-9.
פונקציית פיזור ריילי40145029Q4162366