משפט ארבעת הריבועים של יעקובי

משפט ארבעת הריבועים של יעקובי (אנגלית: Jacobi's four squares theorem) נותן נוסחה לגבי מספר הדרכים בהן מספר $n$ ניתן להצגה כסכום של ארבעה ריבועים. המשפט הוא הרחבה של משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' בכך שהוא מראה לא רק שהצגה כזאת תמיד קיימת, אלא גם מניב מידע על מספר ההצגות של מספר כסכום של ארבעה ריבועים.

היסטוריה

המשפט הוכח ב-1834 על ידי קרל גוסטב יעקב יעקבי.

המשפט

שתי הצגות נחשבות לשונות אם הסדר של האברים בהן שונה או אם המספרים השלמים שמעלים בריבוע שונים (לא רק ערך הריבוע עצמו); למשל, אלו הן 3 מתוך 8 ההצגות האפשריות של 1 כסכום של ארבעה ריבועים:

${\begin{aligned}&1^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}\\&0^{2}+1^{2}+0^{2}+0^{2}\\&(-1)^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}\end{aligned}}$

המשפט של יעקבי קובע שמספר ההצגות של $n$ כסכום של ארבעה ריבועים שווה:

$r_{4}(n)={\begin{cases}8\sum \limits _{m|n}m&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\[12pt]24\sum \limits _{\begin{smallmatrix}m|n\\m{\text{ odd}}\end{smallmatrix}}m&{\text{if }}n{\text{ is even}}\end{cases}}$

כאשר $m|n$ פירושו "$m$ מחלק של $n$". באופן שקול, זהו 8 פעמים סכום המחלקים של $n$ שלא מתחלקים ב-4, כלומר:

$r_{4}(n)=8\sum _{m:\,4\nmid m|n}m$

סקירה של ההוכחה

ההוכחה נעזרת בשיטות להערכת המקדמים של החזקה הרביעית של פונקציית תטא: $\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}\right)^{4}$ . ניתן להראות שהמקדם של החזקה ה-$i$ שווה למספר ההצגות של $i$ כסכום של ארבעה ריבועים $r_{4}(i)$ , כך שמשיטות מתורת הפונקציות האליפטיות, אשר אפשרו ליעקבי להעריך את המקדמים של הטור המתקבל, ניתן לקבל את התוצאה שלו. השיטות הללו אפשרו לו לגזור את הזהות הקריטית (שהוכחה שלה חורגת ממאמר זה):

$\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}\right)^{4}=1+8\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1+(-q)^{n}}}$

כאשר מקבלים זהות זאת כנכונה, התוצאה של יעקובי נובעת אז מביצוע מניפולציות מסוימות על אגף ימין; מתקיים:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1+(-q)^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }n\left(\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{(k+1)(n+1)}q^{kn}\right)$

כאשר המעבר נובע מנוסחת הסכימה לטור הנדסי אינסופי כאשר $q<1$ . המקדם של החזקה ה-$i$ בטור המתקבל מתקבל כמובן מכל אותם מחוברים מהצורה: $b\cdot q^{i}$ כאשר $b$ מספר שלם כלשהו. כעת נבחין כי עבור כל $n$ , הביטוי $n\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{(k+1)(n+1)}q^{kn}$ מניב רק מחוברים שהמעריך שלהם מתחלק ב-$n$ . זה מרמז על כך שהתרומות למקדם של $q^{i}$ נעשות רק על ידי מחוברים מהצורה $(-1)^{(k+1)(n+1)}nq^{i}$ כאשר $n$ מחלק את $i$ (שכן $i=kn$). לכן מתקבל שבשקלול שתי הסכימות, המקדם של $q^{i}$ שווה: $8\sum _{d=1}^{d=i}(-1)^{1+d+{\frac {i}{d}}+i}d$ .

כעת נראה כי הביטוי הזה נותן את הנוסחה המפורשת שהופיעה לעיל. נוכיח באינדוקציה על $p$ שהביטוי הזה נותן את הנוסחה המפורשת של יעקובי עבור $i=2^{p}m$ כאשר $m$ אי-זוגי. כאשר $i$ אי-זוגי כל מחלקיו אי-זוגיים, לכן תמיד $(-1)^{1+d+{\frac {i}{d}}+i}=1$ ולפיכך הסכום הוא על כל המחלקים של $i$ , ובכך תמו הוכחת החלק הראשון של הנוסחה של יעקבי ובדיקת בסיס האינדוקציה ($p=0$). עבור כל מחלק אי-זוגי $o$ של $i$ ניתן לייצר מחלקים זוגיים של $i$ על ידי הכפלתו בחזקות של 2 עם מעריך שקטן או שווה ל-$p$ . מבדיקת זוגיות המעריך של 1- נקבל, שפרט למקרים של $d=1,i$ , עבור כל המחלקים הזוגיים שנוצרים על ידי מחלק אי-זוגי פרימיטיבי $o$ המעריך של 1- הוא אי-זוגי, לכן מתקבלת התוצאה למספר ההצגות:

$8\sum _{d=1}^{d=i}(-1)^{1+d+{\frac {i}{d}}+i}d=8\sum _{o=1}^{o={\frac {i}{2^{p}}}}o(1+2^{p}-2^{p-1}-\cdots -2)=8\sum _{o=1}^{o={\frac {i}{2^{p}}}}o(1+2)=24\sum _{o=1}^{o={\frac {i}{2^{p}}}}o$