פונקציית המשולש

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

פונקציית המשולש היא פונקציה שהגרף שלה הוא בצורת משולש, פעמים רבות משולש שווה-צלעות שגובהו 1 ואורך בסיסו 2. פונקציית המשולש שימושית בעיבוד אותות ובהנדסת מערכות תקשורת, כמייצגת של אותות אידאליים, שממנה ניתן לגזור פונקציות מציאותיות יותר. הפונקציה שימושית גם באפנון דופק מקודד כצורת דופק לשידור אותות דיגיטליים וכמסנן מתואם לקליטת האותות. היא משמשת גם להגדרת החלון המשולש (אנ').

הגדרה

ההגדרה הנפוצה של פונקציית המשולש היא:

{\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)=\Lambda (x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\big (}1-|x|,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-|x|,&|x|<1;\\0&{\text{תרחא}}\\\end{cases}}\end{aligned}}

באופן שקול ניתן להגדיר את הפונקציה כקונבולוציה של שתי פונקציות מלבן זהות:

{\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)&=\operatorname {rect} (x)*\operatorname {rect} (x)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (x-\tau )\cdot \operatorname {rect} (\tau )\,d\tau .\\\end{aligned}}

את פונקציית המשולש ניתן להציג גם כמכפלה של פונקציית המלבן ופונקציית הערך המוחלט:

\operatorname {tri} (x)=\operatorname {rect} (x/2){\big (}1-|x|{\big )}.

יש שמגדירים את פונקציית המשולש כבעל בסיס באורך 1 (במקום 2) כך:

{\begin{aligned}\operatorname {tri} (2x)=\Lambda (2x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\big (}1-2|x|,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-2|x|,&|x|<{\tfrac {1}{2}};\\0&{\text{תרחא}}\\\end{cases}}\end{aligned}}

ההגדרה הכללית של פונקציית המשולש היא:^[1]

\operatorname {tri} _{j}(x)={\begin{cases}(x-x_{j-1})/(x_{j}-x_{j-1}),&x_{j-1}\leq x<x_{j};\\(x_{j+1}-x)/(x_{j+1}-x_{j}),&x_{j}\leq x<x_{j+1};\\0&{\text{תרחא}}\end{cases}}

במסגרת הגדרה כללית זו, ההגדרה שבתחילת פרק זה היא מקרה פרטי:

\Lambda (x)=\operatorname {tri} _{j}(x),

כאשר $x_{j-1}=-1$ , $x_{j}=0$ , $x_{j+1}=1$ .

לכל פרמטר $a\neq 0$ :

{\begin{aligned}\operatorname {tri} \left({\tfrac {t}{a}}\right)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\tfrac {1}{|a|}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {\tau }{a}}\right)\cdot \operatorname {rect} \left({\tfrac {t-\tau }{a}}\right)\,d\tau \\&={\begin{cases}1-|t/a|,&|t|<|a|;\\0&{\text{תרחא}}\end{cases}}\end{aligned}}

התמרת פורייה מוגדרת כדלקמן:

{\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatorname {tri} (t)\}&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\cdot {\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}^{2}\\&=\mathrm {sinc} ^{2}(f),\end{aligned}}

כאשר $\operatorname {sinc} (x)=\sin(\pi x)/(\pi x)$ היא פונקציית ה-sinc המנורמלת.

פונקציית המשולש35380276Q1257483