פונקציית בוכשטאב

פונקציית בוכשטאב היא הפונקציה הרציפה היחידה $ \omega :\mathbb {R} _{\geq 1}\rightarrow \mathbb {R} _{>0} $, שמוגדרת על ידי משוואת שיהוי דיפרנציאלית:
- $ \omega (u)={\frac {1}{u}},\qquad \qquad \qquad 1\leq u\leq 2, $
- $ {\frac {d}{du}}(u\omega (u))=\omega (u-1),\qquad u\geq 2. $ . יש להשתמש בנגזרת שבנקודה u = 2, כאשר u שואפת ל-2 מימין.
הפונקציה נקראת על שמו של המתמטיקאי הרוסי אלכסנדר בוכשטאב (Александр Адольфович Бухштаб, 1905–1990), שכתב עליה בשנת 1937.
אסימפטוטיות
אם $ \gamma $ מסמן את קבוע אוילר-מסקרוני , אז מתברר כי פונקציית בוכשטאב מתקרבת במהירות אל $ e^{-\gamma } $ כאשר $ u\to \infty $ . למעשה, $ |\omega (u)-e^{-\gamma }|\leq {\frac {\rho (u-1)}{u}},\qquad u\geq 1, $, כאשר ρ היא פונקציית דיקמן (Dickman)[1]. כמו כן, הערך $ \omega (u)-e^{-\gamma } $ מתנודד באופן רגיל, לסירוגין - בין נקודות הקיצון - לבין האפסים; נקודות הקיצון מתחלפות בין נקודות מקסימום חיוביות לבין נקודות מינימום שליליות. המרווח שבין נקודות קיצון עוקבות שואף ל-1 כאשר u שואף לאינסוף, וכך גם המרווח בין אפסים עוקבים[2].
יישומים
פונקציית בוכשטאב משמשת למניית מספרים מחוספסים: אם Φ(x, y) הוא מספר המספרים השלמים החיוביים שקטנים או ששווים ל-x ללא גורם ראשוני שקטן מ-y, אז לכל u > 1 קבוע, מתקיים: $ \Phi (x,x^{1/u})\sim \omega (u){\frac {x}{\log x^{1/u}}},\qquad x\to \infty $
הערות שוליים

פונקציית בוכשטאב33618328Q21072754