T1, T2, T3, T4, T5
סדרת פולינומי צ'בישב כוללת פולינומים בעלי מקדמים שלמים, , המקיימים כמה תכונות מתמטיות חשובות. לפי משפט שהוכיח פפנוטי צ'בישב, כל פולינום ממשי מתוקן מקיים את אי-השוויון , והפולינומים הם היחידים שעבורם מתקבל שוויון. הפולינומים קרויים על-שמו של צ'בישב.
ארבעת הפולינומים הראשונים בסדרה הם:
הגדרה ותכונות יסוד
אפשר להגדיר את פולינומי צ'בישב לפי הנוסחה , שבגללה לכל . לפי נוסחאות טריגונומטריות ידועות, אפשר לתרגם הגדרה זו להגדרה רקורסיבית:
,
ו- . מכאן נובע שהמעלה של פולינום צ'בישב ה--י היא .
מן ההגדרה הטריגונומטרית נובעת הזהות
מן ההגדרה נובע ש-
,
וכן
.
באינדוקציה אפשר להוכיח את הנוסחה
ולקבל את ה
פונקציה היוצרת
.
מתקיים גם השוויון .
פולינומי צ'ביצ'ב מהווים מערכת אורתונורמלית שלמה במרחב המכפלה הפנימית המוגדר על ידי המכפלה הפנימית המשוקללת .
מכך שמעלת היא נובע כי פותר פולינום שמקדמיו שייכים לשדה , ובפרט הממד
. אם בוחרים מתקבל , ולעיתים קרובות הוא הפולינום המינימלי של .
ראו גם
קישורים חיצוניים
32958308פולינומי צ'בישב