פולינומי צ'בישב
סדרת פולינומי צ'בישב כוללת פולינומים בעלי מקדמים שלמים, $ T_{0}(x),T_{1}(x),\dots $, המקיימים כמה תכונות מתמטיות חשובות. לפי משפט שהוכיח פפנוטי צ'בישב, כל פולינום ממשי מתוקן $ p(x) $ מקיים את אי-השוויון $ \max _{-1\leq x\leq 1}|p(x)|\geq 2^{1-n} $, והפולינומים $ 2^{1-n}T_{n}(x) $ הם היחידים שעבורם מתקבל שוויון. הפולינומים קרויים על-שמו של צ'בישב.
ארבעת הפולינומים הראשונים בסדרה הם:
- $ T_{0}(x)=1 $
- $ T_{1}(x)=x $
- $ T_{2}(x)=2x^{2}-1 $
- $ T_{3}(x)=4x^{3}-3x $
הגדרה ותכונות יסוד
אפשר להגדיר את פולינומי צ'בישב לפי הנוסחה $ T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta ) $, שבגללה $ T_{n}(x+x^{-1})=x^{n}+x^{-n} $ לכל $ x $. לפי נוסחאות טריגונומטריות ידועות, אפשר לתרגם הגדרה זו להגדרה רקורסיבית: $ T_{0}(x)=1\,\! $, $ T_{1}(x)=x\,\! $ ו- $ T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\,\! $. מכאן נובע שהמעלה של פולינום צ'בישב ה-$ n $-י היא $ n $.
מן ההגדרה הטריגונומטרית נובעת הזהות
$ T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos(x)),&\ x\in [-1,1]\\\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (x)),&\ x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (-x)),&\ x\leq -1\\\end{cases}}\,\! $
מן ההגדרה נובע ש-
$ T_{n}(T_{m}(x))=T_{n\cdot m}(x)\,\! $,
וכן
$ T_{n}(1)=1,\qquad T_{n}(-1)=(-1)^{n},\qquad T_{2n+1}(0)=0,\qquad T_{2n}(0)=(-1)^{n}\, $.
באינדוקציה אפשר להוכיח את הנוסחה $ {\displaystyle T_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}+(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}}{2}}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}} $ולקבל את הפונקציה היוצרת
$ \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}} $.
מתקיים גם השוויון $ T_{n}(x)=1+n^{2}{(x-1)}\prod _{k=1}^{n-1}\left({1+{{x-1} \over 2\sin ^{2}\left({k\pi \over n}\right)}}\right) $.
פולינומי צ'ביצ'ב $ \left\{T_{n}\right\}_{n=0}^{\infty } $ מהווים מערכת אורתונורמלית שלמה במרחב המכפלה הפנימית המוגדר על ידי המכפלה הפנימית המשוקללת $ \langle f_{1},f_{2}\rangle =\int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}f_{1}(x)f_{2}(x)\,dx $.
השלכות לבניות גאומטריות
מכך שמעלת $ T_{n} $ היא $ n $ נובע כי $ \cos(\theta ) $ פותר פולינום שמקדמיו שייכים לשדה $ \mathbb {Q} [\cos(n\theta )] $, ובפרט הממד $ [\mathbb {Q} [\cos(\theta )]:\mathbb {Q} [\cos(n\theta )]]\leq n $. אם בוחרים $ \theta ={\frac {\pi }{2n}} $ מתקבל $ T_{n}(\cos \theta )=0 $, ולעיתים קרובות $ T_{n} $ הוא הפולינום המינימלי של $ \cos({\frac {\pi }{2n}}) $.
ראו גם
קישורים חיצוניים
פולינומי צ'בישב32958308Q619511