עקרון האדישות
עקרון האדישות הוא עקרון מתורת המשחקים המסייע בין השאר למציאת שיווי משקל נאש, במשחק בצורה אסטרטגית.
רקע
עיקרון האדישות מתייחס לשיווי משקל באסטרטגיות מעורבות במשחק בצורה אסטרטגית.
העיקרון אומר כי אם, בשיווי משקל, שחקן משתמש בשתי אסטרטגיות טהורות בהסתברות חיובית, אזי תוחלת התשלום שלו, אם הוא משחק את האחת, שווה לתוחלת התשלום אם הוא משחק את השנייה, בהינתן ששאר השחקנים משחקים את שיווי המשקל.
במשחק באסטרטגיות מעורבות, שימוש בעקרון זה מאפשר למצוא שיווי משקל נאש באמצעות מציאת וקטור אסטרטגיות עם פונקציית תשלומים, שהיא תוחלת התועלת של האסטרטגיות הטהורות.
הגדרה פורמלית
יהי σ שיווי משקל בצורה אסטרטגית, ותהיינה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{s_i}} שתי אסטרטגיות טהורות של שחקן i. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma_i(s_i)>0} ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma_i(\hat{s_i})>0} , אזי מתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_i(\sigma_{-i},s_i) = U_i (\sigma_{-i}, \hat{s_i})}
הסיבה לכך שהמשפט מתקיים פשוטה: אם תוחלת התשלום לשחקן i, כאשר הוא משחק את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i} , גבוהה מתוחלת התשלום כאשר הוא משחק את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{s_i}} , עדיף לו להגדיל את ההסתברות לשחק את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i} על חשבון ההסתברות לשחק את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{s_i}} .
הוכחה
נניח בשלילה כי המשפט אינו מתקיים, ובלי הגבלת הכלליות נניח כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( * \right) \ U_i(\sigma_i,s_i) > U_i (\sigma_i, \hat{s_i})} . תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma'_i} האסטרטגיה של שחקן i המוגדרת באופן הבא:
אזי
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} U_i(\sigma_{-i},\sigma'_i) &\ = \sum_{t_i\in s_i}\sigma'_i(t_i)U_i(\sigma_{-i},t_i) \\ &\ = \sum_{t_i\not\in{\{s_i,\hat{s_i}\}}}\sigma_i(t_i)U_i(\sigma_{-i},t_i)+(\sigma_i(s_i)+\sigma_i(\hat{s_i}))U_i(\sigma_{-i},s_i) \\ &\ > \sum_{t_i\not\in\{s_i,\hat{s_i}\}}\sigma_i(t_i)U_i(\sigma_{-i},t_i)+\sigma_i(s_i)U_i(\sigma_{-i},s_i)+\sigma_i(\hat{s_i})U_i(\sigma_{-i},\hat{s_i}) \\ &\ =\sum_{t_i\in{s_i}}\sigma_i(t_i)U_i(\sigma_{-i},t_i) \\ &\ =U_i(\sigma_i). \end{align} }
השוויונים הראשון והשלישי נובעים מהגדרת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma'} , והאי שוויון נובע מ -הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(*\right)} , אך זוהי סתירה לכך ש היא שיווי משקל, שכן עבור שחקן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} הסטייה לאסטרטגיה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma'_i} מגדילה את התשלום שלו, כלומר היא סטייה כדאית.
דוגמה
נתבונן במשחק מלחמת המינים. שמו של המשחק בא מהתיאור הבא: זוג מתכנן בילוי לשבת. האפשרויות העומדות בפניו הן: קונצרט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (C)} או צפייה במשחק כדורגל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (F)} . הגבר מעדיף צפייה במשחק כדורגל, בעוד האישה מעדיפה להאזין לקונצרט. כאשר שניהם מעדיפים להיות יחד, גם אם הבילוי המשותף הוא הפחות עדיף ביניהם.
במשחק זה יש אסטרטגיות ש"מ טהורות: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (F,F)} עם תשלום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2,1)} , ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (C,C)} עם תשלום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1,2)} . האישה מעדיפה את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (C,C)} , ואילו הגבר מעדיף את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (F,F)} . כאמור שתי האפשרויות הן ש"מ באסטרטגיות טהורות.
| אישה | |||
| F | C | ||
| גבר | F | 2,1 | 0,0 |
| C | 0,0 | 1,2 | |
נחפש ש"מ באסטרטגיות מעורבות. נשים לב כי לא קיים שיווי משקל כאשר רק אחד מהשחקנים מערב אסטרטגיות.
לכן נקבל כי שיווי המשקל יהיה באסטרטגיות מעורבות לחלוטין, אסטרטגיה שבה כל אחת משתי האסטרטגיות הטהורות נבחרות בהסתברות חיובית.
נניח כי הגבר משחק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(x(F), (1-x)(C)\right)}
. אם האישה תשחק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F}
, התשלומים יהיו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U(x,F)=2x}
, ואם תשחק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C}
יתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U(x,C)=1-x}
. באותו האופן, אם האישה תשחק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(y(F), (1-y)(C)\right)}
, התשלומים יהיו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U(F,y)=y}
ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U(C,y)=2(1-y)}
.
לכן, מכיוון שתנאי עקרון האדישות מתקיימים (האסטרטגיות מעורבות לחלוטין), נקבל כי בשיווי משקל, בהכרח, הגבר אדיש בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F}
ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C}
, וגם האישה אדישה בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F}
ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C}
. לכן, אם שיווי המשקל הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(x^*,y^*\right)}
נקבל:
- הגבר אדיש בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} :
- האישה אדישה בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} :
כלומר, נקבל את הש"מ הבא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y^*=\left[\frac13(F), \frac23(C)\right]}
, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^*=\left[\frac23(F), \frac13(C)\right]}
.
השוואה עם ערך המקסמין
בשימוש בעקרון האדישות נשים לב כי בחישוב שיווי המשקל המעורב, השחקן משחק כך שהשחקן השני יהיה אדיש בין שתי האסטרטגיות הטהורות שלו (ולכן לשחקן השני לא תהיה הסטייה כדאית). האסטרטגיה של שחקן נקבעת על ידי התשלומים של השחקן האחר, בניגוד לאסטרטגיית המקסמין של השחקן, הנקבעת על ידי התשלומים שלו עצמו.
לקריאה נוספת
- שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, מאגנס, 2008
עקרון האדישות27990790