סכום ספרות סופי

במתמטיקה, סכום ספרות סופי של מספר טבעי מתקבל על ידי חישוב סכום ספרותיו, ואז חישוב סכום ספרותיה של התוצאה, וחוזר חלילה, עד שמתקבל מספר בן ספרה אחת.

לדוגמה, כדי לקבל את סכום הספרות הסופי של 27,395 מחשבים תחילה את סכום ספרותיו (2 + 7 + 3 + 9 + 5 = 26), ואז מחשבים את סכום הספרות של 26 (2 + 6 = 8), שהוא מספר בן ספרה אחת.

דוגמאות נוספות:

• 84,392,643 ← 39 ← 12 ← 3
• 3,856,205 ← 29 ← 11 ← 2

לפעולת סכום הספרות הסופי מספר תכונות ההופכות אותה לשימושית לצורך זיהוי שגיאות בביצוע פעולות אריתמטיות (ראו להלן). כמו כן, בעזרתה ניתן לקבוע האם מספר שלם חיובי מתחלק ב-9: מספרים אלה הם המספרים בעלי סכום ספרות סופי השווה ל-9.

השיטה מתוארת בערך זה בבסיס עשרוני, אך ניתן להרחיבה לבסיס כלשהו.

שיטת הסרת ספרות ה-9

ניתן לפשט את חישוב סכום הספרות הסופי בעזרת הסרת ספרות ה-9. לפי שיטה זו, תוצאת פעולת סכום הספרות הסופי של מספר כלשהו זהה לתוצאה של אותו המספר כשהוסרו ממנו כל המופעים של הספרה 9 וכן כל קבוצות הספרות שסכומן 9.

לדוגמה ניקח שוב את המספר 84,392,643. יש בו ספרת 9 אחת, אותה ניתן להסיר. כמו כן, 3 + 6 = 9, ומכאן שאפשר להסיר גם את הספרות 3 ו-6. יתר על כך, ניתן להסיר את ה-3 הנוסף ביחד עם 2 ו-4, מפני שהם מסתכמים ל-9. נותרו אם כן רק הספרות המרכיבות את המספר 84, אשר סכום הספרות הסופי שלו הוא 3, כמו שחושב למעלה.

אם לאחר הסרת ספרות 9 וקבוצות ספרות שסכומן 9 לא תשארנה ספרות כלל, סכום הספרות הנותרות הוא אפס. אך כאמור סכום ספרות סופי הוא מספר בין 1 ל-9. במקרה הזה, כאשר סכום הספרות הנותרות הוא אפס, תוצאת הפעולה היא 9. כלומר, ישנה שקילות בין התוצאות 0 ו-9.

למשל, עבור המספר 45,936,126 מסירים את קבוצות הספרות (45), (9), (36) ו-(126) שכל אחת מהן מסתכמת ל-9, ולא נותרו ספרות. אזי סכום הספרות הסופי של המספר הוא 9.

להלן הסבר לפעולת השיטה. חיסור 9 ממספר נתון שקול לחיסור 10 והוספת 1. כלומר, ספרת האחדות עולה באחת וספרת העשרות יורדת באחת. סכום שתי ספרות אלה לא משתנה. לפי אותו עיקרון חיסור 90, 900 או כל מספר בצורה $9\cdot 10^{k}$ , כאשר $k$ שלם כלשהו, שקול להעברת 1 מספרה אחת לשכנה, דבר אשר לא משנה את ערך סכום הספרות. למעשה, ניתן להסיר כל כפולה של 9 מהמספר בלי לשנות את סכום ספרותיו הסופי, מאחר שהדבר שקול לסדרת הסרות 9 (שכל אחת לא משנה את סכום הספרות הסופי).

הקשר לשארית החילוק ב-9

לסכום הספרות הסופי של מספר שלם חיובי יש קשר ישיר לשארית החילוק ב-9 של אותו המספר. שניהם זהים – אם התוצאה היא בין 1 ל-8. השארית היא 0 אם ורק אם סכום הספרות הסופי של המספר הוא 9. ברישום מתמטי, תהי $S(\cdot )$ פונקציה המחזירה את סכום הספרות הסופי ויהיה $n$ שלם חיובי; מתקיים:

$n\!\!\!\mod 9={\begin{cases}S(n)&:S(n)\in \{1,\ldots ,8\}\\0&:S(n)=9\end{cases}}$

ניתן לרשום באופן שקול:

$S(n)=1+{\bigl [}(n-1)\!\!\!\mod 9{\bigr ]}$

הדבר נכון מפני שהסרת 9 ממספר לא משנה את סכום הספרות הסופי שלו, כאמור לעיל. לכן, ניתן להסיר 9 מהמספר ולחזור על הפעולה כמה פעמים שנדרש עד אשר נותר מספר חיובי שקטן מ-9, וזה מבלי לשנות סכום הספרות הסופי שלו. מספר זה הוא למעשה שארית החילוק ב-9.

פעולת סכום הספרות הסופי מגדירה יחס שקילות בקבוצת המספרים הטבעיים. יחס זה מתלכד עם זה שמוגדר על ידי החשבון המודולרי מודולו 9.

מבחן התחלקות ב-9

השלכה מיידית מהתכונה המתוארת בפסקה לעיל היא שמספר שלם חיובי הוא כפולה של 9 (כלומר, המספר מתחלק ב-9 ללא שארית) אם ורק אם סכום הספרות הסופי שלו שווה ל-9.

הפרש בין מספר והיפוכו

אחת מהתכונות שמתקבלות מההקשר לחילוק במודולו 9 היא כדלקמן: ההפרש בין מספר שלם חיובי כלשהו למספר שמתקבל מהיפוך סדר ספרותיו של אותו מספר הוא כפולה של 9.

למשל, נתייחס למספר 87,654:

$9\cdot 4,664=41,976=87,654-45,678$

הדבר נכון מפני שלמספר והיפוכו אותו סכום ספרות, ולכן הפרש המספרים מודולו 9 הוא 0. מכאן שההפרש מתחלק ב-9.

למעשה, הדבר נכון עבור ההפרש בין מספר לכל תמורה של ספרותיו, משום שתמורה אינה משנה את סכום הספרות. למשל:

$9\cdot 2,133=19,197=87,654-68,457$

מבחן בדיקה של פעולות אריתמטיות

ניתן להשתמש בסכום הספרות הסופי ובשיטת הסרת ה-9 על מנת לבדוק נכונות פעולות אריתמטיות בצורה פשוטה ומהירה.

השיטות המובאות כאן מבוססות על התכונות של חשבון מודולרי ומהעובדה (האמורה לעיל) כי סכום ספרות סופי שקול לחישוב מודולו 9.

חיבור

נניח שברצוננו לבדוק האם $a+b=c$. נחשב את סכומי הספרות הסופיים של $a$,‏ $b$ ו-$c$ ונקרא להם A,‏ B ו-C, בהתאמה. אם סכום הספרות הסופי של $A+B$ שונה מ-$C$, אזי המשוואה $a+b=c$ אינה נכונה. אחרת, ייתכן שהמשוואה נכונה.

דוגמה ראשונה: האם 87,429 + 43,879 שווה ל-131,208? סכומי הספרות הסופיים הם $A=3$‏, $B=4$‏ ו-$C=6$. אך $A+B=7$ שונה מ-$C$. לכן תוצאת הסכימה איננה נכונה.

דוגמה שנייה: התבקשנו לחשב 3,452 + 56,786 וקיבלנו את התוצאה 60,238. האם התוצאה נכונה? סכומי הספרות הסופיים של שלושת המספרים בהתאמה הם $A=5$‏, $B=5$‏ ו-$C=1$. נחשב עכשיו את סכום הספרות הסופי של $A+B=10$ ואז נקבל 1, שזהה ל-$C$. זה מחזק את ההשערה שתוצאת הסכימה נכונה (היא אכן נכונה).

כאמור, אם המבחן חיובי משמעות הדבר אינה כי הסכימה בהכרח נכונה. למשל, המשוואה $1+2=12$ אינה נכונה, אך עוברת את המבחן בהצלחה. עם זאת, על מנת שזה יקרה חייבים לטעות בחישוב לפחות בשתי ספרות. מכאן שהסיכוי שהמבחן ייכשל הוא נמוך.

ניסוח שקול למבחן הוא כדלקמן: סכום הספרות הסופי של התוצאה חייב להיות זהה לזה של שרשור המחוברים. למשל, בהתייחס לדוגמה הראשונה לעיל, סכום הספרות הסופי של 60,238 חייב להיות זהה לסכום הספרות הסופי של 567,863,452 (שרשור של 56,786 ו-3,452). ואכן זה נכון.

המבחן נכון לא רק עבור סכימות של שני איברים, אלא גם עבור סכימה של מספר כלשהו של מספרים. כלומר, סכום הספרות הסופי של תוצאת הסכימה חייב להיות זהה לסכום הספרות הסופי של שרשור כל המחוברים.

חיסור

אם ברצוננו לבדוק האם $a-b=c$, ניתן לבדוק באופן שקול האם $a=b+c$ נכון – דבר שאפשר לבצע בעזרת שיטת הבדיקה של חיבור המוצגת לעיל.

לחלופין, ניתן לחשב את סכומי הספרות הסופיים של $a$,‏ $b$ ו-$c$ (שוב נקרא להם A,‏ B ו-C, בהתאמה), ולבדוק האם $A-B$ זהה ל-$C$. אם $A-B$ קטן מ-1, אז מוסיפים 9 על מנת שהתוצאה תהיה בין 1 ל-9.

דוגמה: האם 93,748 פחות 48,308 שווה ל-45,440? סכומי הספרות הסופיים הם $A=4$‏, $B=5$‏ ו-$C=8$. אך $A-B=-1$ קטן מ-1, ואז נוסיף 9 ונקבל את המספר 8. זה גם הערך של $C$. זה מחזק את ההשערה שתוצאת החיסור נכונה (ואכן כך).

כפל

מבחן הבדיקה בעזרת סכום הספרות הסופי עובד גם עבור פעולת הכפל. אם רצוננו לבדוק את המשוואה $a\times b=c$, נחשב את סכומי הספרות הסופיים של $a$,‏ $b$ ו-$c$‏ (שוב A,‏ B ו-C), ונבדוק האם סכום הספרות הסופי של $A\times B$ זהה ל-$C$.

דוגמה: עבור 3,748 × 1,039 = 3,894,172. סכומי הספרות הסופיים הם $A=4$‏, $B=4$‏ ו-$C=7$. אז $A\times B=16$ וסכום הספרות הסופי הוא 7, שזהה ל-$C$. לכן המשוואה עברה את המבחן בהצלחה.

כמו עבור הסכום, המבחן תקף גם כאשר מספר המספרים בפעולת הכפל גדול מ-2.

חילוק

אם חילוק שלם $a$ בשלם $b$ שווה לשלם $c$ עם שארית $d$, אזי מתקיים $a=b\times c+d$ ומכאן שסכום הספרות הסופי של $B\times C+D$ זהה לזה של $A$, כאשר $A$‏, $B$‏, $C$‏ ו-$D$ הם סכומי הספרות הסופיים של $a$‏, $b$‏, $c$ ו-$d$, בהתאמה.

בסיסים אחרים

כל התוצאות המובאות למעלה מתייחסות לבסיס 10. אך ניתן להרחיבן עבור בסיס $b$ כלשהו, כאשר מחליפים 9 במספר $b-1$. הדבר הוא נכון מפני שבבסיס $b$ הסרת $b-1$ מהמספר שקול להעברת 1 מספרה אחת לשכנה ומכאן שסכום הספרות הסופי אינו משתנה.

לדוגמה, בבסיס 6 סכום הספרות הסופי של מספר שווה לשארית חילוקו ב-5, וניתן לחשב את סכום הספרות הסופי על ידי הסרת ספרות 5 או קבוצות ספרות שסכומן 5. למשל, שארית חילוקו ב-5 של המספר 324 הרשום בבסיס 6 (שקול ל-124 בבסיס 10) הינו 4. ניתן לחשב את סכום ספרותיו הסופי על ידי הסרת הספרות 2 ו-3, אשר סכומן שווה ל-5. ואכן נותרה רק הספרה 4. מבחני בדיקה של הפעולות האריתמטיות מורחבים אף הם בצורה דומה.

בבסיס בינארי סכום הספרות הסופי של כל מספר טבעי הוא 1.

קישורים חיצוניים

• מאמר על סכום ספרות סופי באתר nrich (באנגלית)
• תיאור הפעולה באתר Wolfram MathWorld (באנגלית)