סימן קרונקר

בתורת המספרים סימן קרוניקר הוא הרחבה של סימן לז'נדר ושל סימן יעקובי המוגדרת עבור כל המספרים השלמים. המושג הוגדר על ידי לאופולד קרונקר בשנת 1885.

הגדרה פורמלית

• נזכיר שעבור כל מספר טבעי $ a $ ומספר ראשוני אי-זוגי $ p $ סימן לז'נדר מוגדר על ידי:

$ a $ מתחלק ב־$ p $ ללא שארית. $ a $ זר ל־$ p $ והוא שארית ריבועית מודולו $ p $. $ a $ זר ל־$ p $ ואינו שארית ריבועית מודולו $ p $.

$ \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}0&:a\equiv 0{\pmod {p}}&\\1&:a\not \equiv 0{\pmod {p}},&a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1&:a\not \equiv 0{\pmod {p}},&a\not \equiv x^{2}{\pmod {p}}\end{cases}} $

• כעת נגדיר:

$ {\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right):={\begin{cases}0&{\mbox{if }}a{\mbox{ is even,}}\\1&{\mbox{if }}a\equiv \pm 1{\pmod {8}},\\-1&{\mbox{if }}a\equiv \pm 3{\pmod {8}}.\end{cases}}} $

• נגדיר גם

$ {\displaystyle \left({\frac {a}{-1}}\right):={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}a<0,\\1&{\mbox{if }}a\geq 0.\end{cases}}} $

• כעת עבור $ d $ שלם (שונה מ - 0) כלשהו מפרקים את $ d $ לגורמים ראשוניים (לאו דווקא שונים) $ d=up_{1}\cdots p_{n} $ כאשר $ u=\pm 1 $ ונגדיר את סימן קרונקר:

$ {\displaystyle \left({\frac {a}{d}}\right):=\left({\frac {a}{u}}\right)\prod _{i=1}^{n}\left({\frac {a}{p_{i}}}\right)} $

• לבסוף נגדיר$ {\displaystyle \left({\frac {a}{0}}\right):={\begin{cases}1&{\text{if }}a=\pm 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}} $

קישורים חיצוניים

• סימן קרונקר, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

סימן קרונקר38762168Q1789847