סאלינון

הסאלינון הוא האזור הכחול.

שרטוט להוכחת שטח הסאלינון. הצורה כאן היא איחוד האזור הכתום והסגול.

סאלינון (יוונית: σαλινον – צלוחית מלח) הינה צורה גאומטרית הבנויה מארבעה חצאי עיגולים בשלושה גדלים.

את חצי העיגול הגדול (קוטר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AB} ) נוגסים (חותכים) שני חצאי עיגולים קטנים יותר (קטרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AD,EB} הזהים באורכם). למרכז חצי העיגול הגדול נוסף בכיוון ההפוך חצי-עיגול קטן (רדיוס $DO$).

הסאלינון הופיעה לראשונה בספר הלמות של ארכימדס כטענה 14:

יהי ACB חצי עיגול על AB כקוטר, ויהיו AD,BE קטעים כך שאורכם הנמדד מנקודות A,B בהתאמה שווה. על AD,BE נבנה חצאי עיגולים הפונים אל C, ועל DE כקוטר חצי עיגול בצד הנגדי. נניח שהאנך ל-AB דרך O, מרכז חצי העיגול הראשון, פוגש את חצאי העיגולים המנוגדים בנקודות C,F בהתאמה. אז השטח של הצורה התחומה על-ידי כל היקפי חצאי העיגולים שווה לשטח של המעגל הנבנה על CF כקוטר.

ארכימדס הוכיח ששטח הסאלינון שווה לשטח העיגול שקוטרו $FC$ .

הוכחה

הרכב שטח הסאלינון

• מחצית העיגול הגדול – רדיוס $AO$
• ועוד: מחצית העיגול התחתון – רדיוס $DO$
• פחות: פעמיים חצי עיגול שנוגס בעיגול הגדול משני צדדיו – קטרים $AD,BE$

קביעת הרדיוסים של העיגולים ושטחיהם

יהי $R$ רדיוס העיגול הגדול $AO$ , שטח מחציתו יהיה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\pi}{2}R^2} .

יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} רדיוס העיגול התחתון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle DO} , שטח מחציתו יהיה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\pi}{2}r^2} .

אזי רדיוס העיגול הנוגס (החותך) את העיגול הגדול (מחצית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AD} ) יהיה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{R-r}{2}} .

ושטח העיגול יהיה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\pi}{4}(R-r)^2} (חישבנו עיגול ולא חצי-עיגול משום שעלינו לחסר שני חצאים)

סך כל שטח הסאלינון

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\pi}{2}R^2+\frac{\pi}{2}r^2-\frac{\pi}{4}(R r)^2=\frac{\pi}{4}\left(R+r\right)^2}

ומצד שני:

קוטר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle CF} של המעגל בציור הוא סכום הרדיוסים $AO+DO=R+r$ ולפיכך הרדיוס הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{R+r}{2}} .

שטח העיגול עם רדיוס גם הוא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\pi}{4}(R+r)^2}

ארבלוס

אם הנקודות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D,E} יתלכדו עם הנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O} נקבל צורה הקרויה ארבלוס, שגם בה עסק ארכימדס.