נוסחת קושי-בינה
באלגברה ליניארית, נוסחת קושי בינה היא נוסחה לדטרמיננטה של מכפלת מטריצות שאינן דווקא ריבועיות.
הדטרמיננטה מוגדרת רק למטריצות ריבועיות. היא כפלית, כלומר מקיימת את הזהות $ \det(AB)=\det(A)\det(B) $ לכל שתי מטריצות ריבועיות מאותו סדר. נוסחת קושי בינה מכלילה את הזהות גם למטריצות שאינן דווקא ריבועיות.
הנוסחה
תהיינה $ A,B $ מטריצות מסדר $ m\times n,n\times m $ בהתאמה. נסמן ב-$ S $ את קבוצת כל תתי הקבוצות של $ \{1,2,..,n\} $ מגודל m. עבור $ \tau \in S $, נסמן ב-$ A^{\tau } $ את המטריצה המתקבלת מהעמודות של A באינדקסים הנמצאים ב-$ \tau $ (בסדר המקורי), וב-$ B^{\tau } $ את המטריצה המתקבלת מהשורות של B באינדקסים הנמצאים ב-$ \tau $ (בסדר המקורי). אז מתקיים:
- $ \det(AB)=\sum _{\tau \in S}\det(A^{\tau })\det(B^{\tau }) $
הנוסחה מעניינת כאשר n>m. אם n=m, אז $ S=\{\{1,...,n\}\} $ כלומר תת-הקבוצה היחידה היא הקבוצה כולה ואז המטריצות זהות למקוריות ומתקבלת הזהות $ \det(AB)=\det(A)\det(B) $. אם m>n, אין תתי קבוצות כאלה ולכן הסכום הוא הסכום הריק ששווה ל-0, ואכן במקרה זה הדטרמיננטה בהכרח 0 כי המטריצה לא הפיכה משיקולי דרגות. לכן הנוסחה נכונה תמיד.
הוכחה
נסמן את העמודה ה-i של מטריצה $ M $ ב-$ M_{i} $ כמו כן, נסמן ב-$ (M_{1},...,M_{n}) $, כאשר $ M_{i} $ הם וקטורי עמודה, את המטריצה המתקבלת מהם. לבסוף נסמן ב-$ S_{n} $ את קבוצת כל התמורות על $ \{1,...,n\} $.
נשתמש במולטילינאריות הדטרמיננטה ובנוסחה הישירה ונקבל:
$ \det(AB)=\det(AB_{1},...,AB_{m})=\det(\sum _{i=1}^{n}b_{i1}A_{i},...,\sum _{i=1}^{n}b_{im}A_{i}) $
$ =\sum _{1\leq i_{1},...,i_{m}\leq n}b_{i_{1}1},...,b_{i_{m}m}\det(A_{i_{1}},...,A_{i_{m}}) $
$ =\sum _{1\leq i_{1}\leq ...\leq i_{m}\leq n}\sum _{\sigma \in S_{n}}b_{i_{\sigma (1)}1}...b_{i_{\sigma (m)}m}\det(A_{i_{\sigma (1)}},...,A_{i_{\sigma (m)}}) $
$ =\sum _{1\leq i_{1}\leq ...\leq i_{m}\leq n}\sum _{\sigma \in S_{n}}b_{i_{\sigma (1)}1}...b_{i_{\sigma (m)}m}\operatorname {sgn}(\sigma )\det(A_{i_{1}},...,A_{i_{m}}) $
$ =\sum _{\tau \in S}\det(A^{\tau })\det(B^{\tau }) $
כרצוי.
הכללות
ניתן להכליל את המשפט באופן הבא: תהיינה $ A,B $ מטריצות מסדר $ m\times n,n\times p $ בהתאמה. תהיינה $ I,J $ תתי קבוצות של $ \{1,..,m\},\{1,...,p\} $ בהתאמה בגודל k. נסמן ב-$ S $ את קבוצת כל תתי הקבוצות של $ \{1,2,..,n\} $ מגודל k. עבור $ U,V $ תתי קבוצות של טבעיים, נסמן ב-$ M_{UV} $ את המטריצה המתקבלת מהשורות של $ M $ שנמצאות ב-$ U $, והעמודות של $ M $ הנמצאות ב-$ V $. אז מתקיים:
- $ \det(AB_{IJ})=\sum _{K\in S}\det(A_{IK})\det(B_{KJ}) $.
נוסחת קושי-בינה29994551Q45286