נוסחת וודברי
באלגברה ליניארית שבמתמטיקה, נוסחת וודברי (או נוסחת וודברי להיפוך מטריצות) היא נוסחה לחישוב ההופכי של מטריצה אחרי שינוי מדרגה k. הנוסחה נקראת על שם מקס וודברי, אשר פרסם את התוצאה ב-1950. גרסה לנוסחה זו עבור שינוי מדרגה 1 נקראת נוסחת שרמן-מוריסון.
ניסוח הנוסחה
יהיו:
- A מטריצה הפיכה בגודל
- C מטריצה הפיכה בגודל
- U,V מטריצות בגודל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k \times n} ו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \times k} בהתאמה.
אז:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(A+UCV \right)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U \left(C^{-1}+VA^{-1}U \right)^{-1} VA^{-1}}
בדיקת נכונות
ניתן לבדוק בקלות את נכונות הנוסחא, על ידי חישוב הכפל:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \left(A+UCV \right) \left[ A^{-1} - A^{-1}U \left(C^{-1}+VA^{-1}U \right)^{-1} VA^{-1} \right]& = I + UCVA^{-1} - (U+UCVA^{-1}U)(C^{-1} + VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1} \\ & = I + UCVA^{-1} - UC(C^{-1}+ VA^{-1}U)(C^{-1} + VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1} \\ & = I + UCVA^{-1} - UCVA^{-1} = I. \end{align} }
סיבוכיות
בהינתן חישב מוקדם של ההופכי של A, סיבוכיות החישוב של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(A+UCV \right)^{-1}} היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{O}\left( n^2k + k^3 \right)} במקום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{O}\left( n^3 \right)} בחישוב נאיבי.
קישורים חיצוניים
- נוסחת וודברי, באתר MathWorld (באנגלית) המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.
23771452נוסחת וודברי