נאותות

נאותות (באנגלית: Soundness) הוא מונח המציין שתי תכונות לוגיות. בתור תכונה של טיעון לוגי, הנאותות היא התכונה של טיעון תקף שבו כל ההנחות אמיתיות, בניגוד לטיעון תקף שכמה מהנחותיו שקריות. בתור תכונה של מערכת לוגית אקסיומטית, נאותות היא התכונה לפיה אם נוסחה מסוימת ניתנת להוכחה מן האקסיומות על פי כללי המערכת, אזי נוסחה זו אמיתית.

נאותות של טיעון

נוכל להבין את הרעיון של הנאותות הלוגית של טיעון תקף אם נחשוב על מאפיין חשוב של טיעון תקף - האמיתות של טענותיו. טיעון תקף, באופן כללי, הוא טיעון שבו אין אפשרות שבה ההנחות אמיתיות אבל המסקנה שקרית, דהיינו אין דוגמה נגדית לכך שהמסקנה נובעת מן ההנחות. לפי הגדרה זו של תקפות, טיעון הוא תקף גם אם חלק מהנחותיו שקריות, שכן מצב כזה אינו מהווה דוגמה נגדית לתקפותו. לדוגמה: נתונות שתי הנחות:

1. כל היוונים הם בני אדם.
2. כל בני האדם הם בני תמותה.
3. מסקנה: כל היוונים הם בני תמותה.

התקפות של טיעון זה כמעט ברורה מאליה. ברור גם שאם שתי ההנחות אמיתיות, גם המסקנה, בהכרח, אמיתית. אין באפשרותנו להעלות על דעתנו מצב שבו ההנחות אמיתיות והמסקנה אינה אמיתית. אבל מה אם אחת ההנחות שקרית? גם אז הטיעון עודנו תקף, אף שבמקרה כזה ייתכן שהמסקנה שקרית. אריסטו גילה כי הטיעון תקף בזכות צורתו, ללא קשר לשאלה האם חלק מהטענות שקריות מבחינת התכן שלהן: צורתו הכללית של הטיעון הזה היא כזו:

1. כל א הוא ב
2. כל ב הוא ג
3. מסקנה: כל א הוא ג

כעת נניח שאנו מפרשים את אמיתותן של הטענות בטיעון הנ"ל בעולם שבו לא כל היוונים הם בני אדם - למשל, עולם שבו האלים היווניים גם הם נכללים בקבוצת היוונים. במצב כזה, ההנחה הראשונה והמסקנה הן שקריות. אף על פי כן הטיעון הוא תקף, שכן אין בכך משום דוגמה נגדית, שבה כל ההנחות אמיתיות אבל המסקנה שקרית. ההבחנה בין טיעון תקף שבו ההנחות אמיתיות לטיעון תקף שבו ההנחות אינן אמיתיות היא ההבחנה בין נאותות (soundness) לאי-נאותות של הטיעון, אבל היא אינה משפיעה על תקפות הטיעון עצמה. הטיעון שאנו דנים בו הוא תקף, אולם בפירושים מסוימים, למשל זה שבו דנו זה עתה, הוא אינו נאות.

נאותות של מערכת לוגית

הלוגיקה המודרנית בוחנת את תכונותיה הצורניות של מערכת לוגית, דהיינו של תחשיב (calculus) בו ניתן לבצע הוכחות. התחשיב הוא מערכת פורמלית שיש בה נוסחאות בנויות כהלכה מבחינה תחבירית, שחלקן מקבלות מעמד מיוחד של אקסיומות, וכן מערך של כללי היסק באמצעותם ניתן לבצע גזירות של נוסחאות אחדות מתוך נוסחאות אחרות, דהיינו להוכיח אותן. למחקר של התכונות של מערכות מסוג זה קוראים גם מטא-תאוריה או מטאלוגיקה. הנאותות היא אחת התכונות החשובות ביותר של מערכות לוגיות. ייקל להבין אותה בהשוואה לשתי תכונות נוספות, עקביות ושלמות:

• עקביות (consistency) - זוהי תכונתן של מערכות לוגיות שאין סתירה בין אי אלו מן הטענות המוכלות בהן
• שלמות (completeness) - זוהי תכונתן של מערכות לוגיות שבהן לגבי כל נוסחה אמיתית, ניתן לספק לה הוכחה מן האקסיומות.
• נאותות (soundness) - בניגוד לנאותות של טיעון, שהיא התכונה של טיעון תקף שבו כל ההנחות אמיתיות, נאותות של מערכת לוגית היא התכונה לפיה אם נוסחה מסוימת ניתנת להוכחה מן האקסיומות על פי חוקי התחשיב, אזי נוסחה זו אמיתית.

הוכחות לשלמות ולנאותות מעידות על הזיקה שבין התחביר (סינטקס) והסמנטיקה של המערכת. התחביר קובע איזו נוסחה היא תיאורמה (או משפט), דהיינו איזו נוסחה ניתנת לגזירה מן האקסיומות, באמצעות כללי ההיסק. הסמנטיקה קובעת איזו נוסחה היא טאוטולוגיה, דהיינו איזו נוסחה היא אמיתית בהכרח מכוח משמעותם של המונחים המקושרים בה והאופן בו הם מקושרים. לפי הגדרות אלו, למערכת יש שלמות, כאשר כל טאוטולוגיה היא גם תאורמה. למערכת יש נאותות, כאשר כל תאורמה היא טאטוטלוגיה.

ניתן לראות כי התכונות נאותות ושלמות קשורות זו לזו, אף שלא כל מערכת נאותה היא גם שלמה. קורט גדל הוכיח ב-1931 שבמערכות לוגיות שהן חזקות מספיק (כאלו שכוללות את האריתמטיקה בתוכן, כמו המערכת שהציע ברטראנד ראסל בפרינקיפיה מתמטיקה), יש נוסחאות אמיתיות שלא ניתן להוכיח אותן או את שלילתן. חוק זה נקרא משפט אי השלמות של גדל.