משפט קנטור-בנדיקסון

משפט קנטור-בנדיקסון הוא משפט מתמטי הקובע שכל קבוצה סגורה בישר הממשי היא איחוד זר של קבוצה מושלמת וקבוצה בת מנייה.

המשפט התקבל במסגרת ניסיונותיו של גאורג קנטור להוכיח את השערת הרצף. מהמשפט נובע שכל קבוצה סגורה של ממשיים היא בת-מנייה או מעוצמת הרצף.

ניסוח פורמלי

קבוצה $P$ היא קבוצה מושלמת אם היא הקבוצה הנגזרת של עצמה. בנוסח שקול, $P$ מושלמת אם ורק אם היא סגורה ואין לה נקודות מבודדות.

משפט קנטור-בנדיקסון. לכל $X\subseteq \mathbb {R}$ סגורה קיימת $P$ מושלמת ו-$C$ בת-מנייה, עבורן $X=P\cup C,P\cap C=\varnothing$ .

הוכחה

ההוכחה המקורית של המשפט עושה שימוש בדרגת קנטור-בנדיקסון של הקבוצה. אם $X$ קבוצה סגורה בישר שדרגתה $\alpha$ אז $X^{\alpha }$ קבוצה מושלמת. מכך שהישר הוא מרחב מנייה שנייה נובע כי $X\setminus X^{\alpha }$ בת-מנייה. נציג כאן הוכחה אלמנטרית יותר.

תהי $X\subseteq \mathbb {R}$ סגורה. נתייחס ל-$X$ כמרחב טופולוגי עם הטופולוגיה המושרית מהישר. נקודת עיבוי של $X$ היא נקודה שכל סביבה שלה (ב-$X$) אינה בת-מנייה. תהי $P$ קבוצת נקודות העיבוי של $X$ .

נוכיח כי $C=X\setminus P$ בת-מנייה. $B=\{X\cap (p,q):p,q\in \mathbb {Q} \}$ הוא בסיס בן-מנייה של $X$. תהי $\{U_{n}\}_{n}$ קבוצת כל איברי $B$ שהן קבוצות בנות-מנייה.

כל $x\in U_{n}$ אינה נקודת עיבוי, כי $U_{n}$ סביבה בת-מנייה, ולכן $x\in C$. מצד שני, לכל $x\in C$ יש סביבה בת-מנייה, המכילה תת-סביבה בסיסית כלשהי שהיא בת-מנייה, ולכן $C=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }U_{n}$. מכאן $C$ בת-מנייה כאיחוד בן-מנייה של קבוצות בנות-מנייה.

נוכיח כי ל-$P$ אין נקודות מבודדות. תהי $x\in P$ ותהי $U$ סביבה שלה. מכיוון ש-$x$ נקודת עיבוי $U$ אינה בת-מנייה. $C$ בת-מנייה ולכן $U\setminus C$ מכילה אינסוף נקודות. אולם $U\setminus C\subseteq X\setminus C=P$ , ולכן $U$ מכילה אינסוף נקודות של $P$ , כלומר $x$ לא מבודדת ב-$P$ .

כדי להוכיח כי $P$ מושלמת נותר להוכיח כי היא סגורה ב-$\mathbb {R}$ . $P$ סגורה ב-$X$ כי $C$ פתוחה ב-$X$ כאיחוד של קבוצות פתוחות. לפי הגדרת הטופולוגיה המושרית קיימת $Y$ סגורה ב-$\mathbb {R}$ עבורה $P=X\cap Y$ . לכן $P$ סגורה בישר כחיתוך של קבוצות סגורות.

הקשר להשערת הרצף

כל קבוצה מושלמת היא ריקה או מעוצמת הרצף. לכן ממשפט קנטור-בנדיקסון נובע שכל קבוצה סגורה היא בת-מנייה (במקרה $P=\emptyset$) או מעוצמת הרצף. כל קבוצה פתוחה לא ריקה מכילה גם היא קבוצה מושלמת לא ריקה (כי היא מכילה קטע סגור שהוא מושלם). קנטור קיווה להוכיח שכל קבוצה שאינה בת-מנייה מכילה קבוצה מושלמת ובכך להוכיח את השערת הרצף. אם מניחים את אקסיומת הבחירה, טענה זו אינה נכונה וניתן לבנות בלכסון דוגמה נגדית.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0