משפט קושי (תורת הטורים)

משפט קושי לטורים קובע כי טור המוגדר כמכפלת טורים מתכנסים בהחלט, מתכנס בהחלט אף הוא, וסכומו הוא מכפלת הסכומים של הטורים המגדירים אותו.

ניסוח פורמלי

יהיו $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n},\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$ טורים מתכנסים בהחלט ל-$A,B$ בהתאמה, אזי הטור שמוגדר $\sum _{i,j\in \mathbb {N} }a_{i}b_{j}$ מתכנס אף הוא בהחלט וסכומו הוא $AB$ .

הערה פורמלית: כדי לקבוע שטור מתכנס יש להגדיר אותו כסכום על קבוצה בת מנייה. אמנם לא קיים סדר "טבעי" במכפלה של טורים, אך קיימים אינסוף סדרים אפשריים כך שכל אברי המכפלה יהיו סדורים. למשל ניתן להתייחס לכל סכום חלקי של הטור כאל קונוולוציה: $a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+\cdots +a_{n}b_{0}$ .

משפט מרטן

משפט קושי עוסק בטור המכפלה ללא סדר מוגדר על האברים. הוא קרוב ברוחו למשפט מרטן, העוסק באותו טור עם סדר האברים הטבעי, כדלקמן. יהיו $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n},\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$ טורים מתכנסים, שאחד מהם מתכנס בהחלט. אז הטור המוגדר $\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)$ מתכנס אף הוא בהחלט וסכומו הוא $AB$ .

הקשר בין שני הטורים הוא שהטור המתואר במשפט מרטן מתקבל מהטור המתואר במשפט קושי באמצעות הכנסת סוגריים לסידור נתון של הטור. בדרך כלל הכנסת סוגריים לטור ניתנת ללא שינוי הסכום, אם מספר האברים בכל סוגריים חסום או אם כל האברים בכל סוגריים שווי-סימן. משפט מרטן קובע שהכנסת סוגריים לטור המתואר במשפט קושי מותרת בהינתן הסדר המתואר ללא התנאים הללו.

הוכחה

מכיוון שבהתכנסות בהחלט כל אברי הטור חיוביים, הרי שסדרת הסכומים החלקיים מונוטונית עולה, ולפיכך מספיק להראות שהיא חסומה כדי להסיק שהיא מתכנסת. נניח כי נתון סכום חלקי כלשהו, אפשר לחסום כל סכום חלקי של טור המכפלה באמצעות מכפלת הסכומים החלקיים $\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{n}b_{j}\right)$ , כאשר $n$ אינדקס מקסימלי בין כל אבר בסכום החלקי הנתון של המכפלה. ביטוי זה חוסם את הסכום החלקי מכיוון שכל הקומבינציות של המכפלות האפשריות מופיעות בו, והוא כמובן חסום על ידי סכומי הטורים עצמם, ומכאן שזו סדרה מתכנסת.

מהנתון שזו סדרה מתכנסת נובע שכל תת-סדרה שלה מתכנסת לאותו גבול, לכן מספיק למצוא תת-סדרה כלשהי המתכנסת ל-$AB$ . אם מתבוננים בסידור של אברי המכפלה מהצורה הבאה:

$a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{1}+a_{1}b_{0})+(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{2}+a_{2}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{2}b_{0})+\cdots$

ולוקחים תת-סדרה מהצורה $\sum _{i=0}^{n}b_{i}\sum _{j=0}^{n}a_{j}$ , ניתן להסיק שהגבול כאשר $n$ שואף לאינסוף הוא $AB$ .

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0