משפט סטון-ויירשטראס

משפט סטון-ויירשטראס הוא תוצאה חשובה באנליזה פונקציונלית, המאפיינת באופן מלא את כל האלגבראות שצפופות במרחב הפונקציות הרציפות על קבוצה קומפקטית.

המשפט מהווה הכללה למשפט הקירוב של ויירשטראס שעוסק באלגברת הפולינומים על קטע ממשי סגור וחסום. משפט סטון-ויירשטראס מאפיין את התכונה היסודית שהופכת את אלגברת הפולינומים לצפופה במרחב הפונקציות הרציפות: הפרדת נקודות.

למשפט תפקיד מרכזי בפיתוח תורת טורי פורייה.

המשפט

אם $K$ הוא מרחב מטרי קומפקטי כלשהו, מסמנים ב-$C(K)$ את מרחב הפונקציות הרציפות $\ f:K\to \mathbb {C}$, שמהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת "נורמת $L$-אינסוף": $\|f\|_{\infty }=\sup _{x\in K}|f(x)|$.

כמו כן, אלגברה היא מרחב וקטורי שמוגדרת בו גם פעולת כפל בין ווקטורים. בפרט באלגבראות במרחב $C(K)$ הכפל הווקטורי מוגדר ככפל נקודתי של הפונקציות.

משפט סטון-ויירשטראס: אלגברה $A\subseteq C(K)$ היא קבוצה צפופה ב-$C(K)$ תחת נורמת $L$-אינסוף, אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:

1. לכל $x\in K$ קיימת פונקציה $f\in A$ כך שמתקיים $f(x)\neq 0$.
2. A "מפרידה נקודות". כלומר לכל $x,y\in K$, אם $x\neq y$ אז קיימת פונקציה $f\in A$ כך שמתקיים $f(x)\neq f(y)$.

מסקנה חשובה: אלגברת הפולינומים הטריגונומטריים צפופה במרחב הפונקציות האינטגרביליות $H([a,b])$, תחת נורמת ממוצע, כלומר הנורמה $\|f\|=\int _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx$.

הוכחה: ממשפט סטון-ויירשטראס ניתן להסיק כי אלגברת הפולינומים הטריגונומטריים צפופה במרחב $C(K)$, כאשר $K$ הוא מעגל היחידה. צפיפות זו מוגדרת תחת התכנסות במידה שווה שבאופן כללי גוררת התכנסות בממוצע, ולכן הפולינומים הטריגונומטריים צפופים במרחב הפונקציות האינטגרביליות $H([a,b])$ שהן במעגל היחידה, כלומר אלו המקיימות $f(a)=f(b)$, בנורמת הממוצע. אולם לא קשה לראות שתחת נורמת ממוצע המרחב האחרון צפוף במרחב $H([a,b])$ כולו.

הוכחה

הכיוון שבו אם $A$ צפופה אז מתקיימים שני תנאי המשפט הוא פשוט יחסית: אם $A\in C(K)$ אלגברה צפופה, אז יש בה פונקציה קרובה כרצוננו לפונקציה הקבועה $f=1$. קל לראות שפונקציה מספיק קרובה ל-$f$ לא תתאפס באף נקודה ולכן מתקיים התנאי הראשון. כמו כן, בהינתן זוג נקודות $a,b\in K$ ניתן להגדיר למשל את הפונקציה $g(x)={\frac {d(x,a)}{d(a,b)}}$, כאשר $d$ היא המטריקה המוגדרת ב-$K$. קל לראות שפונקציה זו מפרידה את הנקודות הנ"ל, ומצפיפות $A$ נובע שקיימת בה פונקציה קרובה כרצוננו ל-$g$, ופונקציה קרובה מספיק תפריד את הנקודות.

הכיוון שבו מראים כי אם מתקיימים שני תנאי המשפט אז האלגברה צפופה, הוא מורכב יותר וזה עיקר המשפט.

במסגרת ההוכחה נעשה שימוש במונח סגירות סריגית: קבוצה $B\subseteq C(K)$ כלשהי נקראת "סגורה סריגית", אם לכל $f,g\in B$ הפונקציות $\max\{f,g\},\min\{f,g\}$, המוגדרות נקודתית, שייכות גם הן ל-$B$ .

• טענת עזר ראשונה: כל אלגברה סגורה במרחב $C(K)$, היא סגורה סריגית.

הוכחה: קל לראות שמתקיימים השוויונות הנקודתיים הבאים:

$${\begin{aligned}\max\{f,g\}={\frac {f+g+|f-g|}{2}}\\\min\{f,g\}={\frac {f+g-|f-g|}{2}}\end{aligned}}$$

מכאן שמספיק להראות שאם אלגברה סגורה, אז היא סגורה תחת לקיחת ערך מוחלט. נניח ללא הגבלת הכלליות שנתונה $|h|<1$ באלגברה סגורה. נשים לב שממשפט הקירוב של ויירשטראס נובע שפונקציית הערך המוחלט $|x|$ רציפה בקטע סגור ולכן היא גבול במידה שווה של פולינומים. ניתן לראות שאותם פולינומים בדיוק במשתנה $h(x)$ יקרבו את $|h|$. מהנתון שמדובר באלגברה סגורה נובע שהגבול של הפולינומים הללו, דהיינו $|h|$, שייך לה.

• טענת עזר שנייה: נניח כי $K$ מרחב מטרי קומפקטי המכיל לפחות שתי נקודות, וכן $B\subseteq C(K)$ קבוצה סגורה סריגית, המקיימת את התנאי הבא: לכל זוג נקודות $a,b\in K$ ולכל זוג מספרים $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ קיימת פונקציה $f\in B$ מתאימה כך שמתקיים $f(a)=\alpha ,f(b)=\beta$, אזי $B$ קבוצה צפופה ב--$C(K)$.

הוכחה: תהי $f\in C(K)$ ויהי $0<\epsilon$, ונניח כי $B\subseteq C(K)$ תת-קבוצה המקיימת את התנאי שבטענה. מתנאי זה נובע שעבור כל $a,b\in K$ קיימת פונקציה $g_{a,b}\in B$ מתאימה המקיימת עבור הסקלרים $f(a),f(b)$ כי $g_{a,b}(a)=f(a),g_{a,b}(b)=f(b)$.

מרציפות הפונקציות $f,g_{a,b}$ נובע שעבור ה-$\epsilon$ הנתון, לכל נקודה $b\in K$ קיים כדור פתוח שנסמן $U_{a,b}\subseteq K$ שמרכזו $b$, בעל רדיוס מספיק קטן כך שלכל $x\in U_{a,b}$ מתקיים כי $|g_{a,b}(x)-f(x)|<\epsilon$.

אם נתבונן ב-$b$ כמשתנה, אז הקבוצה $\left\{U_{a,b}\right\}_{b\in K}$ היא כיסוי פתוח של $K$, ומהקומפקטיות של המרחב נובע שקיים תת-כיסוי סופי מהצורה $\left\{U_{a,b_{i}}\right\}_{i=1}^{n}$.

נגדיר את הפונקציה $g_{a}(x)=\max _{1\leq i\leq n}\left\{g_{a,b_{i}}(x)\right\}$, שמהנחת הסגירות הסריגית נובע כי היא שייכת ל-$B$. כמו כן מתקיים גם $g_{a}(a)=f(a)$ וגם $g_{a}(x)>f(x)-\epsilon$.

נבצע תהליך דומה עבור $a$ כמשתנה: מרציפות הפונקציות $f,g_{a}$ נובע שעבור ה-$\epsilon$ הנתון, לכל נקודה $a\in K$ קיים כדור פתוח שנסמן $V_{a}\subseteq K$ שמרכזו $a$, בעל רדיוס מספיק קטן כך שלכל $U_{a,b}\subseteq K$ שמרכזו $x\in V_{a}$ מתקיים כי $|g_{a}(x)-f(x)|<\epsilon$.

אם נתבונן ב-$a$ כמשתנה, אז הקבוצה $\left\{V_{a}\right\}_{a\in K}$ היא כיסוי פתוח של $K$, ומהקומפקטיות של המרחב נובע שקיים תת-כיסוי סופי מהצורה $\left\{V_{a_{j}}\right\}_{j=1}^{m}$.

נגדיר את הפונקציה $g(x)=\min _{1\leq i\leq m}\left\{g_{a_{j}}(x)\right\}$, גם היא שייכת לקבוצה $B$ מסגירותה הסריגית.

מכל הנתונים נובע שלכל $x\in K$ מתקיים כי $f(x)-\epsilon <g(x)<g_{a}(x)<f(x)+\epsilon$, כלומר $|f(x)-g(x)|<\epsilon$ .

נוכיח את המשפט: נניח כי $A\in C(K)$ אלגברה כלשהי המקיימת את שני התנאים הנתונים. נתבונן בסגוֹר שלה ${\bar {A}}$, שגם הוא אלגברה סגורה. מטענת העזר הראשונה נובע כי היא סגורה סריגית. נראה שמתקיים גם התנאי המופיע בטענת העזר השנייה, ומכך נסיק על-פי הטענה הנ"ל כי ${\bar {A}}$ קבוצה צפופה ב-$C(K)$.

יהיו $a,b\in K$ זוג נקודות שונות ויהיו $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$. נחפש $h\in {\bar {A}}$ שתקיים $h(a)=\alpha ,h(b)=\beta$. מהנתון כי $A$ "מפרידה נקודות" נובע שקיימת $f\in A$ המקיימת $f(a)\neq f(b)$. נשים לב שמהיות $A$ אלגברה נובע כי היא מכילה כל פולינום ריבועי ב-$f$ מהצורה $\lambda f^{2}+\mu f$. אם-כך כדי שיתקיים התנאי המבוקש נצטרך לפתור את מערכת המשוואות:

$${\begin{aligned}\lambda f(a)^{2}+\mu f(a)&=\alpha \\\lambda f(b)^{2}+\mu f(b)&=\beta \end{aligned}}$$

אלו שתי משוואות בשני נעלמים ולכן קיים להן פתרון אם ורק אם הדטרמיננטה שונה מ-0. כלומר $f^{2}(a)f(b)-f(a)f^{2}(b)=f(a)f(b)[f(a)-f(b)]\neq 0$. נתון כי $f(a)-f(b)\neq 0$ ולכן מספיק לדרוש שיתקיים $f(a)\neq 0$ וגם $f(b)\neq 0$. נניח ללא הגבלת הכלליות כי $f(a)=0$. מקיום התנאי הראשון במשפט נובע שקיימת $g\in A$ המקיימת $g(a)\neq 0$, ולכן לכל $0<r$ מתקיים כי $(f+r\cdot g)(a)\neq 0$, ונבחר $r$ מספיק קטן כדי שיתקיים במקביל גם $(f+r\cdot g)(b)\neq 0$. אם כך מצאנו פונקציה ב-${\bar {A}}$ המקיימת את תנאי טענת העזר השנייה, ולכן מטענה זו נובע כי ${\bar {A}}$ צפופה במרחב $C(K)$.

קל לראות כי קבוצה סגורה שצפופה במרחב שווה למרחב כולו, ולכן ${\bar {A}}=C(K)$, ומכאן כי $A$ צפופה ב-$C(K)$.