משפט ליוביל (אלגברה דיפרנציאלית)
משפט ליוביל הוא משפט באלגברה דיפרנציאלית, הקובע תנאי הכרחי ומספיק לקיומה של פונקציה קדומה אלמנטרית לפונקציה נתונה. את המשפט הוכיח ז'וזף ליוביל ב-1835.
מהמשפט עולות דוגמאות מפורסמות לאינטגרלים לא מסוימים שאינם פונקציות אלמנטריות, כגון פונקציית השגיאה $ \int e^{-x^{2}}\ dx $, האינטגרל הלוגריתמי ההפוך $ \ \int {\frac {1}{\ln x}}\ dx $ (המוכר ממשפט המספרים הראשוניים) ו-$ \ \int {\frac {\sin x}{x}}\ dx $.
רקע
פונקציה אלמנטרית היא פונקציה המתקבלת ממספר סופי של פעולות פשוטות על פונקציות בסיסיות. פורמלית, ניתן לבנות את הפונקציות האלמנטריות באופן אלגברי כמתואר להלן.
יהי $ F $ שדה עם פעולת גזירה $ a\mapsto a' $. השדה $ F $ יחד עם הפעולה $ a' $ נקרא שדה דיפרנציאלי. אוסף האיברים $ F_{C}=\{a\in F:a'=0\} $ הוא תת-שדה של $ F $ הקרוי שדה הקבועים של $ F $.
אקספוננט של איבר $ a\in F $ הוא איבר המסומן $ e^{a} $ שמקיים: $ (e^{a})'=a'e^{a} $ (זהו אנלוג אלגברי של פונקציית האקספוננט). באופן דומה, לוגריתם של איבר $ a\in F $ הוא איבר המסומן $ \log a $ שמקיים: $ (\log a)'=a'/a $ (זהו אנלוג אלגברי של הלוגריתם הטבעי).
הרחבת שדות דיפרנציאלית זהה להרחבת שדות רגילה בכפוף לתנאי שהנגזרות מזדהות על השדה הקטן. הרחבה דיפרנציאלית $ K/F $ נקראת הרחבה אלמנטרית של $ F $ אם קיימת שרשרת סופית של הרחבות $ F=K_{0}\subset K_{1}\subset K_{2}\subset \ldots \subset K_{n}=K $ כך שלכל $ 0\leq i<n $ מתקיימת אחת מהאפשרויות הבאות:
- $ K_{i+1}=K_{i}(a) $ כאשר a אלגברי מעל $ K_{i} $.
- $ K_{i+1}=K_{i}(e^{a}) $ כאשר $ a\in K_{i} $.
- $ K_{i+1}=K_{i}(\log a) $ כאשר $ a\in K_{i} $.
המשפט
יהי $ a\in F $ ותהי $ K/F $ הרחבה אלמנטרית כך ש-$ F_{C}=K_{C} $, וכן קיים $ b\in K $ המקיים $ b'=a $. אזי קיימים קבועים $ c_{1},\ldots ,c_{n}\in F_{C} $ ואיברים $ u_{1},\ldots ,u_{n},v\in F $ כך שמתקיים:
- $ a=\sum _{i=1}^{n}c_{i}{\frac {u_{i}'}{u_{i}}}+v' $
במילים אחרות, לכל איבר בשדה דיפרנציאלי עם קדומה אלמנטרית יש קדומה בשדה, עד כדי סכום של מספר סופי של לוגריתמים.
משפט ליוביל (אלגברה דיפרנציאלית)24507889Q2404702