משפט יאנג

משפט יאנג הוא משפט בתורת המשחקים, הנותן אפיון נוסף לערך שפלי. המשפט נקרא על שמו של המתמטיקאי האמריקאי הוברט פייטון יאנג (Hobart Peyton Young), שהוכיח אותו בשנת 1985. המשפט מחליף את עקרונות החיבוריות (אדיטיביות) ושחקן האפס (אדישות) בערך שפלי, בעקרון השוליות.

המשפט קובע כי ערך שפלי הוא מושג הפתרון הנקודתי היחיד המקיים את עקרונות היעילות, הסימטריה והשוליות.

העקרונות של יאנג

עקרון היעילות

על פי עיקרון זה, הזכייה הכוללת מחולקת כולה בין השחקנים, ללא בזבוז.

הגדרה פורמלית: פתרון $\varphi$ מקיים את עקרון היעילות אם לכל משחק $\left(N;v\right)$ מתקיים:

$\sum _{i\in N}\varphi _{i}(N;v)=v(N)$

כלומר, סכום הרווחים של כל השחקנים שווה לשווי של הקואליציה.

עקרון הסימטריה

על פי עיקרון זה, שני שחקנים שתרומתם שווה לכל קואליציה, יזכו באותה תמורה.

הגדרה פורמלית: פתרון $\varphi$ מקיים את עקרון הסימטריה אם לכל משחק $\left(N;v\right)$ ולכל זוג שחקנים סימטריים i ו-j במשחק מתקיים:

$\varphi _{i}\left(N;v\right)=\varphi _{j}\left(N;v\right)$

עקרון השוליות

על פי עיקרון זה, אם התרומה השולית של שחקן מסוים לכל קואליציה במשחק אחד זהה לתרומתו השולית לכל קואליציה במשחק אחר, אזי הוא יקבל את אותו הסכום בשני המשחקים.

הגדרה פורמלית: פתרון $\varphi$ מקיים את עקרון השוליות אם לכל שני משחקים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( N;v \right)} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( N;w \right)} עם אותה קבוצת שחקנים, ולכל שחקן i מתקיים התנאי הבא:

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall S \subseteq N \setminus \left\{ i \right\} } ,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v( S \cup \left\{ i \right\} )-v(S)=w( S \cup \left\{i \right\} )-w(S)}

אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi_i\left( N;v \right)=\varphi_i\left( N;w \right)} .

נשים לב שערך שפלי מקיים את שלושת העקרונות המצוינים במשפט.

הוכחה

תחילה נראה כי פתרון המקיים את עקרונות היעילות, הסימטריה והשוליות מקיים גם את עקרון שחקן האפס.

אכן, יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi} מושג פתרון המקיים יעילות, סימטריה ושוליות. יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( N;v \right)} משחק ויהי i שחקן אפס במשחק זה.

יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( N;z \right)} משחק האפס: z(S)= 0 לכל קואליציה S. במשחק $\left(N;z\right)$ כל השחקנים סימטריים ולכן מיעילות וסימטריה נובע כי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi_j\left( N;z \right)= 0 } הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall{j}\in{N}, } .

מכאן התרומה השולית של i לכל קואליציה הן ב v והן ב z היא 0, ולכן מעיקרון השוליות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi_i\left( N;v \right)= \varphi_i\left( N;z \right)= 0 } .

כעת, נראה כי כל פתרון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi} המקיים את עקרונות היעילות, הסימטריה והשוליות הוא ערך שפלי, כלומר שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi = Sh} .

לכל משחק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( N;v \right)} נסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I \left( N;v \right)= \left\{S\subseteq N: \ \exists T\subseteq S, v\left(T \right)\ \neq 0 \right\}} .

לכל קואליציה S נגדיר משחק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( N;\ v^s \right)} באופן הבא: $\ v^{s}\left(T\right)=v\left(S\cap T\right),\forall {T}\subseteq {N}$ .

ניתן לראות כי כל השחקנים שאינם ב S הם שחקני אפס ב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( N;\ v^s \right)} , לכן עבור i שאינו ב S מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ Sh_i \left( N;\ v^s \right) = 0 = \varphi_i\left( N;v^s \right)} .

נשים לב כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I \left( N;v-v^s \right)\subset I\left( N;v \right) } לכל קואליציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S\in I\left( N;v \right) } .

אכן, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I \left( N;v-v^s \right)\subseteq I\left( N;v \right) }  : תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T\in I\left( N;v-v^s \right) } , אז יש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R \subseteq T } תת-קואליציה שמקיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(v-v^s\right)\left(R\right) \neq 0 } .

לכן בהכרח $v\left(R\right)\neq 0$ או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v^s \left(R\right)= v \left(R\cap S\right)\neq 0} . אך מכאן שיש ל T תת-קואליציה שערכה אינו 0 ונקבל ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T\in I\left( N;v \right)} , כנדרש.

כמו כן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S \not\in I\left( N;v-v^s \right) } : לכל תת-קואליציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T \subseteq S} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(v-v^s\right)\left(T\right)= v \left(T\right)- v^s \left(T\right) = v \left(T\right)- v \left(T\right) = 0 }

ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S \not\in I\left( N;v-v^s \right)} .

הוכחת המשפט תעשה באינדוקציה על מספר האיברים ב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I\left( N;v \right)} .

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left| I\left( N;v \right) \right| = 0 } , אז $v\left(S\right)=0\$ לכל S. מכיוון שגם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi} וגם Sh מקיימים את עקרון שחקן האפס, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi_i\left( N;v \right)= Sh_i\left( N;v \right)= 0 } לכל i.

נניח באינדוקציה ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi\left( N;v \right)= Sh\left( N;v \right)} לכל משחק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( N;v \right)} שעבורו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left| I\left( N;v \right) \right| < k } ויהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( N;v \right)} משחק שבו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left| I\left( N;v \right) \right| = k } .

תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S\in I\left( N;v \right)} ויהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i\not\in S} , נראה כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi_i\left( N;v \right)= Sh_i\left( N;v \right)} :

ראינו ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left| I \left( N;v-v^s \right)\right| < \left|I\left( N;v \right)\right|= k } ולכן מהנחת האינדוקציההפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi_i\left( N;v-v^s \right)= Sh_i\left( N;v-v^s \right) ,\forall{i}\in{N} } .

לכל קואליציה { i }\הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T \subseteq N \ } :

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(v-v^s \right) \left(T \cup \ i \right)= v\left(T \cup \ i \right) - v\left(S \cap \left(T \cup \ i \right)\right )= v\left(T \cup \ i \right) - v^s\left(T\right)}

לכן התרומה השולית של i במשחק $v-v^{s}$ היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(v-v^s \right) \left(T \cup \ i \right) - \left(v-v^s \right) \left(T \right)=v\left(T \cup \ i \right) - v^s\left(T \right) - v\left(T \right) + v^s\left(T \right)= v\left(T \cup \ i \right) - v\left(T \right) }

כלומר התרומה השולית של שחקן i ב $v-v^{s}$ שווה לתרומה השולית שלו ב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} .

נתון ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi} מקיים את עקרון השוליות. בנוסף ידוע כי גם ערך שפלי מקיים עקרון זה, לכן -

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi_i\left( N;v \right) = \varphi_i\left( N;v-v^s \right)} ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Sh_i\left( N;v \right) = Sh_i\left( N;v-v^s \right)} לכל שחקן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i\not\in S } .

ונקבל (מהנחת האינדוקציה) כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi_i\left( N;v \right) = Sh_i\left( N;v \right) } לכל שחקן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i\not\in S } .

יהי i שחקן שנמצא בכל הקואליציות ב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I\left( N;v \right)} , נראה כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi_i\left( N;v \right)= Sh_i\left( N;v \right)} :

נסמן ב *S את חיתוך כל הקואליציות ב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I\left( N;v \right)} ונניח כי *S אינה ריקה (אחרת המסקנה מתקיימת באופן ריק).

נבחין כי לכל קואליציה T שאינה מכילה את *S מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v\left(T\right) = 0 } (כי אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v\left(T\right) \neq 0} , אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T\in I\left( N;v \right)} ובפרט מכילה את *S).

כמו כן כל שני שחקנים i,j ב *S הם סימטריים כי לכל קואליציה R שאינה מכילה את i ו- j הקואליציות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R \cup j } ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R \cup i } אינן מכילות את *S ולכן v שלהן הוא 0.

מכיוון שהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi} ו- Sh מקיימים את עקרון הסימטריה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi_i\left( N;v \right)= \varphi_j\left( N;v \right)} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Sh_i\left( N;v \right)= Sh_j\left( N;v \right) } לכל i,j שאינם ב *S.

מכיוון שהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi} ו- Sh מקיימים את עקרון היעילות וראינו ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi_i\left( N;v \right)= Sh_i\left( N;v \right)} לכל שחקן i שאינו ב *S,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{i\in{S^*} }\varphi_i\left( N;v \right)= v\left(N\right) - \sum_{i\not\in{S^*} }\varphi_i\left( N;v \right)= v\left(N\right) - \sum_{i\not\in{S^*}}Sh_{i} (N;v) = \sum_{i\in{S^*}}Sh_{i} (N;v) }

מכאן, שלכל שחקן j ב *S:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi_j\left( N;v \right)= \frac{1}{|S^*|}\sum_{i\in{S^*} }\varphi_i\left( N;v \right) =\frac{1}{|S^*|}\sum_{i\in{S^*} }Sh_i( N;v ) = Sh_j\left( N;v \right) }

וסה"כ הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi = Sh } כנדרש. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \blacksquare }

ראו גם

• ערך שפלי
• פתרון (תורת המשחקים)
• מונחים בתורת המשחקים

לקריאה נוספת

• שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

20519949משפט יאנג