משפט ויגנר-אקרט

משפט ויגנר-אקרט הוא משפט שהחשיבות העיקרית שלו היא השימוש שנעשה בו במכניקת הקוונטים. לפי המשפט, ניתן לכתוב את אלמנטי המטריצה של אופרטור טנזורי אי פריק $T_{q}^{(k)}$ בין מצבים של תנע זוויתי כמכפלה של גורמים באופן הבא

$\langle \tau 'j'm'|T_{q}^{(k)}|\tau jm\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2j'+1}}}\langle \tau 'j'||T^{(k)}||\tau j\rangle \langle kjqm|j'm'\rangle$

כאשר $\ \tau$ מסמל את המספרים הקוונטיים שאינם קשורים לתנע הזוויתי. הגורם $\langle \tau 'j'||T^{(k)}||\tau j\rangle$ נקרא "אלמנט המטריצה המצומצם", חישובו בדרך כלל מסובך אך ניתן להראות כי הוא איננו תלוי ב- $\ m'$ וב- $\ q$. המקדמים $\langle kjqm|j'm'\rangle$ הם מקדמים ידועים הנקראים מקדמי קלבש-גורדן.

דוגמה לשימוש במשפט

תחת קירוב הדיפול החשמלי ובצימוד L-S, ההסתברות ליחידת זמן של מעבר קרינתי (פליטת פוטון) בין שני מצבים חד אלקטרוניים $\ |\tau JM\rangle ,|\tau 'J'M'\rangle$ של אטום מתכונתית לריבוע אלמנט המטריצה

$d_{nm}\equiv \langle \tau 'J'M'|r|\tau JM\rangle$

כאשר $\ \tau$ מייצג את המספרים הקוונטים שאינם קשורים לתנע הזוויתי. מכיוון שכל אופרטור וקטורי, ובפרט האופרטור $\ r$, ניתן לכתיבה כטנזור אי פריק מדרגה 1, נוכל להשתמש במשפט כדי לקבל שאלמנט המטריצה יחסי למקדמי קלבש גורדן

$\langle \tau 'J'M'|r_{q}^{(1)}|\tau JM\rangle \propto \langle 1Jqm|J'M'\rangle$

מתוך תכונות מקדמי קלבש גורדן, ניתן להסיק את כללי הברירה הבאים למעבר בתנאי דיפול חשמלי: מעבר מותר הוא מעבר שהמצבים ההתחלתי והסופי שלו מקיימים את התנאים

$\Delta J=0,\pm 1$

$\Delta M=0,\pm 1$

כמו כן, המעבר ממצב עם $\ J=0$ למצב עם $\ J'=0$ הוא מעבר אסור.

משפט ההטלה של לנדה (Landé projection Theorem)

משפט לנדה הינו מקרה פרטי של משפט ויגנר אקרט, עבור אופרטור טנזוריאלי מהמעלה הראשונה: $T_{q}^{(1)}$, כלומר אופרטור וקטורי $V_{i}$

במקרה זה מתקיים:

$\langle \tau 'j'm'|V_{i}|\tau jm\rangle ={\frac {4\pi ^{2}}{h^{2}j(j+1)}}\langle \tau 'jm|J\cdot V|\tau jm\rangle \langle j,m'|J_{i}|j,m\rangle$

ערך זה הוא קצרמר בנושא פיזיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.