משפט ויגנר-אקרט

משפט ויגנר-אקרט הוא משפט שהחשיבות העיקרית שלו היא השימוש שנעשה בו במכניקת הקוונטים. לפי המשפט, ניתן לכתוב את אלמנטי המטריצה של אופרטור טנזורי אי פריק $ T_{q}^{(k)} $ בין מצבים של תנע זוויתי כמכפלה של גורמים באופן הבא

$ \langle \tau 'j'm'|T_{q}^{(k)}|\tau jm\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2j'+1}}}\langle \tau 'j'||T^{(k)}||\tau j\rangle \langle kjqm|j'm'\rangle $

כאשר $ \ \tau $ מסמל את המספרים הקוונטיים שאינם קשורים לתנע הזוויתי. הגורם $ \langle \tau 'j'||T^{(k)}||\tau j\rangle $ נקרא "אלמנט המטריצה המצומצם", חישובו בדרך כלל מסובך אך ניתן להראות כי הוא איננו תלוי ב- $ \ m' $ וב- $ \ q $. המקדמים $ \langle kjqm|j'm'\rangle $ הם מקדמים ידועים הנקראים מקדמי קלבש-גורדן.

דוגמה לשימוש במשפט

תחת קירוב הדיפול החשמלי ובצימוד L-S, ההסתברות ליחידת זמן של מעבר קרינתי (פליטת פוטון) בין שני מצבים חד אלקטרוניים $ \ |\tau JM\rangle ,|\tau 'J'M'\rangle $ של אטום מתכונתית לריבוע אלמנט המטריצה

$ d_{nm}\equiv \langle \tau 'J'M'|r|\tau JM\rangle $

כאשר $ \ \tau $ מייצג את המספרים הקוונטים שאינם קשורים לתנע הזוויתי. מכיוון שכל אופרטור וקטורי, ובפרט האופרטור $ \ r $, ניתן לכתיבה כטנזור אי פריק מדרגה 1, נוכל להשתמש במשפט כדי לקבל שאלמנט המטריצה יחסי למקדמי קלבש גורדן

$ \langle \tau 'J'M'|r_{q}^{(1)}|\tau JM\rangle \propto \langle 1Jqm|J'M'\rangle $

מתוך תכונות מקדמי קלבש גורדן, ניתן להסיק את כללי הברירה הבאים למעבר בתנאי דיפול חשמלי: מעבר מותר הוא מעבר שהמצבים ההתחלתי והסופי שלו מקיימים את התנאים

$ \Delta J=0,\pm 1 $

$ \Delta M=0,\pm 1 $

כמו כן, המעבר ממצב עם $ \ J=0 $ למצב עם $ \ J'=0 $ הוא מעבר אסור.

משפט ההטלה של לנדה (Landé projection Theorem)

משפט לנדה הינו מקרה פרטי של משפט ויגנר אקרט, עבור אופרטור טנזוריאלי מהמעלה הראשונה: $ T_{q}^{(1)} $, כלומר אופרטור וקטורי $ V_{i} $

במקרה זה מתקיים:

$ \langle \tau 'j'm'|V_{i}|\tau jm\rangle ={\frac {4\pi ^{2}}{h^{2}j(j+1)}}\langle \tau 'jm|J\cdot V|\tau jm\rangle \langle j,m'|J_{i}|j,m\rangle $

ערך זה הוא קצרמר בנושא פיזיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.