משפט השונות השלמה
משפט השונות השלמה הוא משפט בתורת ההסתברות פירוק לשונות של משתנה מקרי לגורמים של תוחלת מותנית ושונות מותנית במשתנה אחר.
אם X הוא משתנה מקרי, אז משפט השונות השלמה אומר כי:
- $ \operatorname {Var} (Y)=\operatorname {E} (\operatorname {Var} (Y\mid X))+\operatorname {Var} (\operatorname {E} (Y\mid X)).\, $
הוכחה
על פי הגדרת השונות: $ \operatorname {Var} [Y]=\operatorname {E} [Y^{2}]-\operatorname {E} [Y]^{2} $
בעזרת משפט התוחלת השלמה:
$ =\operatorname {E} \left[\operatorname {E} [Y^{2}|X]\right]-\operatorname {E} \left[\operatorname {E} [Y|X]\right]^{2} $
נשכתב את הביטוי למומנט השני של Y:
$ =\operatorname {E} \!\left[\operatorname {Var} [Y|X]+\operatorname {E} [Y|X]^{2}\right]-\operatorname {E} [\operatorname {E} [Y|X]]^{2} $
לפי ליניאריות התוחלת:
$ =\operatorname {E} [\operatorname {Var} [Y|X]]+\left(\operatorname {E} \left[\operatorname {E} [Y|X]^{2}]-\operatorname {E} [\operatorname {E} [Y|X]\right]^{2}\right) $
לבסוף נזהה את הביטוי בסוגריים כשונות התוחלת המותנית $ E[Y|X] $:
$ =\operatorname {E} \left[\operatorname {Var} [Y|X]\right]+\operatorname {Var} \left[\operatorname {E} [Y|X]\right] $
ראו גם
משפט השונות השלמה24188920Q1055879