משפט הפרפר

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
משפט הפרפר:

משפט הפרפר הוא משפט בגאומטריה אוקלידית.

”נתון PQ מיתר כלשהו במעגל, ש-M היא נקודת האמצע שלו. מעבירים דרך M שני מיתרים נוספים AB,CD כך ש-A,C באותה קשת שהמיתר PQ קובע. מעבירים את המיתרים AD,BC ומסמנים את נקודות החיתוך שלהם עם PQ ב-X,Y בהתאמה. אזי מתקיים MX=MY.”

המשפט קרוי "משפט הפרפר" בשל העובדה שהבנייה הנתונה בו דומה לפרפר. למשפט זה אין כמעט שימושים והוא ידוע בעיקר בשל האתגר שבהוכחתו. למרות ניסוחו הפשוט של המשפט, הוא קשה להוכחה. בשל כך הוא ידוע גם כ"בעיית הפרפר".

הוכחה

נעזר בעובדה הבאה: אם לשני משולשים יש זווית זהה, אז יחס השטחים שלהם שווה ליחס בין הצלעות הכולאות אותה. הדבר נובע מן הנוסחה: .

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו, וזוויות קודקודיות שוות זו לזו, כלומר

כתוצאה מהעובדה שהוזכרה במשפט הראשון נובעים ארבעת השוויונות הבאים:

הכפלת אגפי שמאל זה בזה מביאה לתוצאה 1, ולכן גם הכפלת אגפי ימין צריכה להביא לתוצאה זאת. לאחר ביטול איברים זהים מתקבל

.

לפי חזקה של נקודה:

ובדומה לכך:

נציב ב-(1):

ולכן מתקבל:

קישורים חיצוניים