באנליזה מתמטית, משפט הערך ההתחלתי הוא משפט המקשר בין ביטויים בתחום התדר להתנהגות מערכת בתחום הזמן כשהזמן שואף לאפס.[1]
ניסוח פורמלי
תהי
התמרת לפלס של פונקציה ממשית
, כלומר
. אם
חסומה בתחום הפתוח
והגבול
קיים, אזי מתקיים
.[2]
הוכחה
חסומה והגבול
קיים, כלומר
. באמצעות החלפת משתנה ניתן להראות לכל
ש־
[3] וכן ש־
.[4]
נפעיל גבול על שני צִדי המשוואה:

הפונקציות
חסומות כולן על ידי הפונקציה
(עבור
גדול מספיק), שהיא אינטגרבילית על הקרן
. בנוסף לזה, משפחת הפונקציות הזו מתכנסת נקודתית לפונקציה
. על פי משפט ההתכנסות הנשלטת, כל אחת מהפונקציות במשפחה היא אינטגרבילית, וגבול האינטגרלים הוא האינטגרל של פונקציית הגבול:

ולכן:
מ.ש.ל

ראו גם
הערות שוליים
- ↑ Fourier and Laplace transforms. R. J. Beerends. Cambridge: Cambridge University Press. 2003. ISBN 978-0-511-67510-2. OCLC 593333940.
{{cite book}}
: תחזוקה - ציטוט: others (link)
- ↑ Robert H. Cannon, Dynamics of Physical Systems, Courier Dover Publications, 2003, page 567.
- ↑


- ↑







משפט הערך ההתחלתי38995252Q4272300