משפט הערך ההתחלתי

באנליזה מתמטית, משפט הערך ההתחלתי הוא משפט המקשר בין ביטויים בתחום התדר להתנהגות מערכת בתחום הזמן כשהזמן שואף לאפס.^[1]

ניסוח פורמלי

תהי $F(s)$ התמרת לפלס של פונקציה ממשית $f(t)$ , כלומר $F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt$ . אם $f$ חסומה בתחום הפתוח $(0,\infty )$ והגבול $\lim _{t\to 0^{+}}f(t)$ קיים, אזי מתקיים $\lim _{t\,\to \,0^{+}}f(t)=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}$ .^[2]

הוכחה

$f(t)$ חסומה והגבול $\lim _{t\to 0^{+}}f(t)$ קיים, כלומר $\lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\alpha$ . באמצעות החלפת משתנה ניתן להראות לכל $0<t$ ש־ $\lim _{s\to \infty }f\left({\frac {t}{s}}\right)=\alpha$ ^[3] וכן ש־ $sF(s)=\int _{0}^{\infty }f\left({\frac {t}{s}}\right)e^{-t}\,dt$ .^[4]

נפעיל גבול על שני צִדי המשוואה:

\lim _{s\to \infty }sF(s)=\lim _{s\rightarrow \infty }{\int _{0}^{\infty }{f\left({\frac {t}{s}}\right)e^{-t}}dt}

הפונקציות $f\left({\frac {t}{s}}\right)e^{-t}$ חסומות כולן על ידי הפונקציה $Me^{-t}$ (עבור $M$ גדול מספיק), שהיא אינטגרבילית על הקרן $(0,\infty )$ . בנוסף לזה, משפחת הפונקציות הזו מתכנסת נקודתית לפונקציה $\alpha e^{-t}$ . על פי משפט ההתכנסות הנשלטת, כל אחת מהפונקציות במשפחה היא אינטגרבילית, וגבול האינטגרלים הוא האינטגרל של פונקציית הגבול:

{\begin{aligned}\lim _{s\to \infty }sF(s)&=\lim _{s\rightarrow \infty }{\int _{0}^{\infty }{f\left({\frac {t}{s}}\right)e^{-t}}dt}=\\&=\int _{0}^{\infty }{\lim _{s\rightarrow \infty }{f\left({\frac {t}{s}}\right)}e^{-t}}dt\\&=\int _{0}^{\infty }\alpha e^{-t}\,dt=\alpha \end{aligned}}

ולכן:

$\lim _{t\,\to \,0^{+}}f(t)=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}$

מ.ש.ל

\blacksquare

ראו גם

משפט הערך הסופי

הערות שוליים

^ Fourier and Laplace transforms. R. J. Beerends. Cambridge: Cambridge University Press. 2003. ISBN 978-0-511-67510-2. OCLC 593333940.{{cite book}}: תחזוקה - ציטוט: others (link)
^ Robert H. Cannon, Dynamics of Physical Systems, Courier Dover Publications, 2003, page 567.
^ $t={\frac {u}{s}}$
$t\rightarrow 0^{+},s\rightarrow \infty$
$\lim _{s\rightarrow \infty }{f\left({\frac {u}{s}}\right)}=\alpha \Rightarrow \lim _{s\rightarrow \infty }{f\left({\frac {t}{s}}\right)}=\alpha$
^ $F\left(s\right)=\int _{0}^{\infty }{f\left(t\right)e^{-st}}dt$
$sF\left(s\right)=s\int _{0}^{\infty }{f\left(t\right)e^{-st}}dt$
$t={\frac {u}{s}}$
$t\rightarrow 0,u\rightarrow 0$
$t\rightarrow \infty ,u\rightarrow \infty$
$dt={\frac {du}{s}}$
$sF\left(s\right)=s\int _{0}^{\infty }{f\left({\frac {u}{s}}\right)e^{-u}{\frac {du}{s}}}=\int _{0}^{\infty }{f\left({\frac {u}{s}}\right)e^{-u}}du=\int _{0}^{\infty }{f\left({\frac {t}{s}}\right)e^{-t}}dt$