משפט דה גואה
בגאומטריה, משפט דה-גואה הנו הכללה של משפט פיתגורס לשלושה ממדים. המשפט נקרא על שם המתמטיקאי הצרפתי ז'אן פול דה-גואה דה-מלבס. המשפט קובע שאם בפרמידה יש פינה ישרה (שלוש הזוויות היוצרות את הפינה, הן זוויות ישרות, ראו תמונה משמאל) אז סכום ריבועי השטחים היוצרים את הפינה הישרה שווה לריבוע שטח הפאה הרביעית.
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_{\color{blue}ABO}^2+S_{\color{green}ACO}^2+S_{\color{red}BCO}^2=S_{ABC}^2}
ניתן להכליל את משפט פיתגורס ואת משפט דה-גואה גם לממדים גבוהים יותר משלוש.
הוכחות
הוכחה גאומטרית
נעביר אנך מהקודקוד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O} החותך את הפאה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ABC} בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} ואנך מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} החותך את הישר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AB} בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle CK} עובר דרך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} ).
אזי מתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{HK}{OK}=\frac{OK}{CK}} (כי שני הביטויים מייצגים את קוסינוס הזווית שבין המישורים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AOB,ACB} ).
מהשוויון הקודם נקבל כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_{ABC}\cdot S_{AHB}=\frac{CK\cdot AB}{2}\cdot\frac{HK\cdot AB}{2}=S_{AOB}^2} .
באותו אופן מראים כי
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}S_{ABC}\cdot S_{BHC}&=S_{BOC}^2\\S_{ABC}\cdot S_{AHC}&=S_{AOC}^2\end{align}}
לאחר סיכום שלושת השוויונות הנ"ל ומכיוון ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_{AHB}+S_{BHC}+S_{CHA}=S_{ABC}} נקבל:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_{\color{blue}ABO}^2+S_{\color{green}ACO}^2+S_{\color{red}BCO}^2=S_{ABC}^2}
הוכחה אנליטית
נצייר מערכת צירים קרטזית בשלושה ממדים. נסמן: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle OA=a,OB=b,OC=c} . נזהה את הנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O} עם ראשית הצירים ואת הנקודות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A,B,C} עם הווקטורים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)} .
שטח המשולש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ABC} שווה למחצית המכפלה הוקטורית של הווקטורים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}} ולכן:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {S_{ABC}^2=\left(\frac{\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|}{2}\right)^2=\frac{\bigl\|(bc,ac,ab)\bigr\|^2}{4}=\frac{b^2c^2+a^2c^2+a^2 b^2}{4}=S_{BOC}^2+S_{AOC}^2+S_{AOB}^2}}
קישורים חיצוניים
- משפט דה גואה, באתר MathWorld (באנגלית)
- הרחבה של משפט פיתגורס למרחב מממד 3 ויותר