פירמידה עם פינה ישרהבגאומטריה , משפט דה-גואה הנו הכללה של משפט פיתגורס לשלושה ממדים . המשפט נקרא על שם המתמטיקאי הצרפתי ז'אן פול דה-גואה דה-מלבס.
המשפט קובע שאם בפרמידה יש פינה ישרה (שלוש הזוויות היוצרות את הפינה, הן זוויות ישרות, ראו תמונה משמאל) אז סכום ריבועי השטחים היוצרים את הפינה הישרה שווה לריבוע שטח הפאה הרביעית.
S
A
B
O
2
+
S
A
C
O
2
+
S
B
C
O
2
=
S
A
B
C
2
{\displaystyle S_{\color {blue}ABO}^{2}+S_{\color {green}ACO}^{2}+S_{\color {red}BCO}^{2}=S_{ABC}^{2}}
ניתן להכליל את משפט פיתגורס ואת משפט דה-גואה גם לממדים גבוהים יותר משלוש.
הוכחות הוכחה גאומטרית הוכחת משפט דה-גואה נעביר אנך מהקודקוד
O
{\displaystyle O}
A
B
C
{\displaystyle ABC}
H
{\displaystyle H}
C
{\displaystyle C}
A
B
{\displaystyle AB}
K
{\displaystyle K}
C
K
{\displaystyle CK}
H
{\displaystyle H}
אזי מתקיים:
H
K
O
K
=
O
K
C
K
{\displaystyle {\frac {HK}{OK}}={\frac {OK}{CK}}}
A
O
B
,
A
C
B
{\displaystyle AOB,ACB}
מהשוויון הקודם נקבל כי
S
A
B
C
⋅
S
A
H
B
=
C
K
⋅
A
B
2
⋅
H
K
⋅
A
B
2
=
S
A
O
B
2
{\displaystyle S_{ABC}\cdot S_{AHB}={\frac {CK\cdot AB}{2}}\cdot {\frac {HK\cdot AB}{2}}=S_{AOB}^{2}}
באותו אופן מראים כי
S
A
B
C
⋅
S
B
H
C
=
S
B
O
C
2
S
A
B
C
⋅
S
A
H
C
=
S
A
O
C
2
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{ABC}\cdot S_{BHC}&=S_{BOC}^{2}\\S_{ABC}\cdot S_{AHC}&=S_{AOC}^{2}\end{aligned}}}
לאחר סיכום שלושת השוויונות הנ"ל ומכיוון ש-
S
A
H
B
+
S
B
H
C
+
S
C
H
A
=
S
A
B
C
{\displaystyle S_{AHB}+S_{BHC}+S_{CHA}=S_{ABC}}
S
A
B
O
2
+
S
A
C
O
2
+
S
B
C
O
2
=
S
A
B
C
2
{\displaystyle S_{\color {blue}ABO}^{2}+S_{\color {green}ACO}^{2}+S_{\color {red}BCO}^{2}=S_{ABC}^{2}}
הוכחה אנליטית נצייר מערכת צירים קרטזית בשלושה ממדים. נסמן:
O
A
=
a
,
O
B
=
b
,
O
C
=
c
{\displaystyle OA=a,OB=b,OC=c}
O
{\displaystyle O}
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
(
a
,
0
,
0
)
,
(
0
,
b
,
0
)
,
(
0
,
0
,
c
)
{\displaystyle (a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)}
שטח המשולש
A
B
C
{\displaystyle ABC}
המכפלה הוקטורית של הווקטורים
A
B
→
,
A
C
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}}}
S
A
B
C
2
=
(
‖
A
B
→
×
A
C
→
‖
2
)
2
=
‖
(
b
c
,
a
c
,
a
b
)
‖
2
4
=
b
2
c
2
+
a
2
c
2
+
a
2
b
2
4
=
S
B
O
C
2
+
S
A
O
C
2
+
S
A
O
B
2
{\displaystyle {S_{ABC}^{2}=\left({\frac {\|{\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AC}}\|}{2}}\right)^{2}={\frac {{\bigl \|}(bc,ac,ab){\bigr \|}^{2}}{4}}={\frac {b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}b^{2}}{4}}=S_{BOC}^{2}+S_{AOC}^{2}+S_{AOB}^{2}}}
קישורים חיצוניים 
