משפט גאוס-לוקאס

באנליזה מרוכבת, משפט גאוס-לוקאס (על שם של המתמטיקאים קרל פרידריך גאוס ופליקס לוקאס) מספק יחס גאומטרי בין השורשים של פולינום $P$ לשורשים של הנגזרת שלו $P'$ . קבוצת השורשים של פולינום ממשי או מרוכב היא קבוצת נקודות במישור המרוכב. המשפט קובע כי כל השורשים של $P'$ נמצאים בתוך הקמור של השורשים של $P$ .

היסטוריה

בין המסמכים שהותיר מאחוריו קרל פרידריך גאוס (1777 – 1855) נמצאה מחברת אשר הוא החל לכתוב בספטמבר 1813. בעמוד 76 במחברת הוא כתב את הטענה שנודעה כמשפט גאוס-לוקאס. מספר מכתבים שלו שנשלחו לשומאכר מעידים שהוא חשב על המשפט לראשונה ביוני 1836 ושהוא הכיר היטב את ההשלכות הנובעות ממנו. מאוחר יותר, פליקס לוקאס ניסח משפט דומה, אם כי בגרסה מעט חלשה יותר, במאמר מ-1868. המשפט התגלה מחדש באופן בלתי תלוי על ידי Legebeke ב-1882, בעזרת שיקולים גאומטריים.

ניסוח

אם $P$ פולינום בעל מקדמים מרוכבים, כל האפסים של $P'$ נמצאים בתוך המצולע הקמור הקטן ביותר המכיל את האפסים של $P$ (במישור המרוכב).

הוכחה

מן המשפט היסודי של האלגברה, נובע כי ל-$P$ קיים פירוק יחיד מעל שדה המספרים המרוכבים: $P(z)=\alpha \prod _{i=1}^{n}(z-a_{i})$ כאשר המספרים $a_{1},\ldots ,a_{n}$ השורשים של $P$ .

יהי $z$ מספר מרוכב עבורו $P(z)\neq 0$ . נבצע בפולינום נגזרת לוגריתמית ונקבל

${\frac {P'(z)}{P(z)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{z-a_{i}}}$

באופן ספציפי, אם $z$ הוא שורש של $P'$ ועדיין $P(z)\neq 0$ אז $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{z-a_{i}}}=0$ או $\sum _{i=1}^{n}{\frac {{\bar {z}}-{\bar {a}}_{i}}{|z-a_{i}|^{2}}}=0$ . הביטוי האחרון יכול להיכתב גם:

$\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{|z-a_{i}|^{2}}}\right){\bar {z}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{|z-a_{i}|^{2}}}{\bar {a}}_{i}$

ניתן לראות כי $z$ הוא סכום משקלים בעל מקדמים חיוביים, או מרכז כובד של המספרים המרוכבים $a_{i}$ ולכן הוא נמצא בתוך המצולע הקמור הקטן ביותר המכיל את האפסים של $P$ .

מקורות

• עמודים 91-92 ,Analytic Theory of Polynomials