משפט בראהמגופטה

דיאגרמה להוכחה

בגאומטריה אוקלידית, משפט בראהמגופטה הוא משפט עבור מרובע בר-חסימה שאלכסוניו ניצבים זה לזה.

יהי מרובע בר-חסימה בעל קודקודים $ A,B,C,D $ כאשר אלכסוניו $ AC,BD $ ניצבים זה לזה ונפגשים בנקודה $ M $ .

נעביר אנך $ EF $ ל-$ BC $ דרך $ M $ , כאשר $ E $ על $ BC $ ו-$ F $ על $ AD $ . אזי $ F $ אמצע $ AD $ .

הוכחה

הוכחת המשפט

$ \sphericalangle CAD=\sphericalangle CBD $ כזוויות הקפיות הנשענות על אותה הקשת.

$ \sphericalangle CBM=\sphericalangle CME $ כזוויות משלימות ל-$ \sphericalangle ECM $ .

$ \sphericalangle CME=\sphericalangle AMF $ כזוויות קודקודיות.

$ \sphericalangle AMF=\sphericalangle MAF $ . לכן $ \triangle AFM $ שווה-שוקיים. לכן $ AF=FM $ .

$ \sphericalangle ACB=\sphericalangle ADB $ כזוויות הקפיות הנשענות על אותה הקשת.

$ \sphericalangle BCM=\sphericalangle BME $ כזוויות משלימות ל-$ \sphericalangle CBM $ .

$ \sphericalangle BME=\sphericalangle DMF $ כזוויות קודקודיות.

$ \sphericalangle DMF=\sphericalangle MDF $ . לכן $ \triangle DFM $ שווה-שוקיים. לכן $ FD=FM $ .

לכן $ AF=FD $ .