משטח ורונזה

בגאומטריה אלגברית, משטח ורונזה הוא יריעה אלגברית דו-ממדית במרחב הפרויקטיבי ה-5-ממדי $\mathbb {P} ^{5}$ . המשטח מהווה שיכון ריבועי של המישור הפרויקטיבי $\mathbb {P} ^{2}$ ב-$\mathbb {P} ^{5}$. משטח זה קרוי על-שם ג'וזפה ורונזה (1854-1917). את משטח ורונזה אפשר לשכן גם ב-$\mathbb {P} ^{4}$ , באמצעות הטלה מנקודה גנרית של $\mathbb {P} ^{5}$ . ההטלה הבאה, מנקודה גנרית של $\mathbb {P} ^{4}$ ל-$\mathbb {P} ^{3}$ , קרויה משטח שטיינר.

הגדרה

משטח ורונזה הוא תמונת ההעתקה $s:\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{5}$ , המוגדרת לפי העתקת ורונזה $s(x:y:z)=(x^{2}:y^{2}:z^{2}:yz:xz:xy)$ , כאשר $(x:y:z)$ הן קואורדינטות הומוגניות של המרחב הראשון. התמונה מוגדרת גם באמצעות המשוואות

${\Big \{}(x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}:x_{4}:x_{5}):x_{0}x_{1}=x_{5}^{2}\ ,\ x_{2}x_{5}=x_{3}x_{4}\ ,\ x_{4}x_{5}=x_{0}x_{3}{\Big \}}$

יריעות ורונזה

לכל $n,d$ אפשר להגדיר שיכון $\mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{m}$ , כאשר $m+1={\binom {n+d}{d}}$ הוא המקדם הבינומי הסופר את המונומים מדרגה $d$ ב-$n$ משתנים, וההעתקה מוגדרת על ידי:

$\phi (x_{0}:x_{1}:\ldots :x_{n})={\bigl (}M_{0}(x_{0},\ldots ,x_{n}),M_{1}(x_{0},\ldots ,x_{n}),\ldots ,M_{m}(x_{0},\ldots ,x_{n}){\bigr )}$

כאשר $M_{i}$ הם אוסף כל המונומים מדרגה $d$ ב-$n$ משתנים. תמונת השיכון $\phi$ היא יריעת ורונזה. אפשר להוכיח שהיא קבוצה סגורה אי-פריקה, ולכן יריעה פרויקטיבית (משטח ורונזה הוא היריעה המתקבלת עבור $d=2,n=2$).

בניסוח אחר, שאינו תלוי בקואורדינטות, מדובר בהעתקת החזקה הסימטרית, $\nu _{d}:\mathbb {P} V\to \mathbb {P} ({\text{Sym}}^{d}V)$ , כאשר $V$ הוא מרחב וקטורי מממד $n$ .

ניתן להראות כי כל יריעה פרויקטיבית היא חיתוך של יריעת ורנוזה ויריעה לינארית.