משטח ורונזה

בגאומטריה אלגברית, משטח ורונזה הוא יריעה אלגברית דו-ממדית במרחב הפרויקטיבי ה-5-ממדי ${\mathbb{\mathbb{P}}}^5$ . המשטח מהווה שיכון ריבועי של המישור הפרויקטיבי ${\mathbb{\mathbb{P}}}^2$ ב-${\mathbb{\mathbb{P}}}^5$. משטח זה קרוי על-שם ג'וזפה ורונזה (1854-1917). את משטח ורונזה אפשר לשכן גם ב-${\mathbb{\mathbb{P}}}^4$ , באמצעות הטלה מנקודה גנרית של ${\mathbb{\mathbb{P}}}^5$ . ההטלה הבאה, מנקודה גנרית של ${\mathbb{\mathbb{P}}}^4$ ל-${\mathbb{\mathbb{P}}}^3$ , קרויה משטח שטיינר.

הגדרה

משטח ורונזה הוא תמונת ההעתקה $s:{\mathbb{\mathbb{P}}}^2\to {\mathbb{\mathbb{P}}}^5$ , המוגדרת לפי העתקת ורונזה $s(x:y:z)=(x^2:y^2:z^2:yz:xz:xy)$ , כאשר $(x:y:z)$ הן קואורדינטות הומוגניות של המרחב הראשון. התמונה מוגדרת גם באמצעות המשוואות

$\{(x_0:x_1:x_2:x_3:x_4:x_5):x_0{x}_1=x_5^2,x_2{x}_5=x_3{x}_4,x_4{x}_5=x_0{x}_3\}$

יריעות ורונזה

לכל $n,d$ אפשר להגדיר שיכון ${\mathbb{\mathbb{P}}}^n\to {\mathbb{\mathbb{P}}}^m$ , כאשר $m+1=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{d})$ הוא המקדם הבינומי הסופר את המונומים מדרגה $d$ ב-$n$ משתנים, וההעתקה מוגדרת על ידי:

$\varphi (x_0:x_1:\dots :x_n)=(M_0(x_0,\dots ,x_n),M_1(x_0,\dots ,x_n),\dots ,M_m(x_0,\dots ,x_n))$

כאשר $M_i$ הם אוסף כל המונומים מדרגה $d$ ב-$n$ משתנים. תמונת השיכון $\varphi$ היא יריעת ורונזה. אפשר להוכיח שהיא קבוצה סגורה אי-פריקה, ולכן יריעה פרויקטיבית (משטח ורונזה הוא היריעה המתקבלת עבור $d=2,n=2$).

בניסוח אחר, שאינו תלוי בקואורדינטות, מדובר בהעתקת החזקה הסימטרית, ${\nu }_d:\mathbb{\mathbb{P}}V\to \mathbb{\mathbb{P}}({\text{Sym}}^{d}V)$ , כאשר $V$ הוא מרחב וקטורי מממד $n$ .

ניתן להראות כי כל יריעה פרויקטיבית היא חיתוך של יריעת ורנוזה ויריעה לינארית. משטח_ורונזה20523249Q2899466