דמיון משולשים

משולשים דומים

משולשים דומים הם שני משולשים שקיים ביניהם יחס הדמיון, כלומר, הם מקיימים את התנאים הבאים:

• שלוש הזוויות של שני המשולשים שוות בהתאמה. במשולשים $\triangle ABC,\triangle DEF$ בציור שמשמאל מתקיים:

${\begin{aligned}\sphericalangle BAC=\sphericalangle EDF\\\sphericalangle ABC=\sphericalangle DEF\\\sphericalangle ACB=\sphericalangle DFE\end{aligned}}$

• היחס בין הצלעות המתאימות של שני המשולשים שווה עבור שלושת זוגות הצלעות. במשולשים $\triangle ABC,\triangle DEF$ בציור שמשמאל מתקיים:

${\frac {AB}{DE}}={\frac {BC}{EF}}={\frac {AC}{DF}}$

די בכך שהמשולשים מקיימים את אחד התנאים, משום שקיום אחד התנאים גורר את קיום התנאי האחר.

אינטואיטיבית, במשולשים דומים משולש אחד הוא בעצם הגדלה של המשולש השני, הגדלה שבה כל הפרופורציות של המשולש המקורי נשמרות.

כאשר שני משולשים $\triangle ABC,\triangle DEF$ דומים, מסמנים זאת בצורה: $\triangle ABC\sim \triangle DEF$ , כאשר הקודקודים המתאימים הם באותו סדר, כלומר

${\begin{aligned}\sphericalangle A=\sphericalangle D\\\sphericalangle B=\sphericalangle E\\\sphericalangle C=\sphericalangle F\end{aligned}}$

משולשים חופפים הם מקרה פרטי של משולשים דומים, המתקיים כאשר היחס בין הצלעות המתאימות במשולשים שווה ל-1.

כדי להוכיח דמיון מספיק שיתקיים אחד משלושת התנאים הבאים:

• שתי זוויות שוות בהתאמה. כלומר לשני המשולשים יש אותן שתי זוויות. כיוון שבמשולש יש 180°, מתנאי זה נובע ששלוש הזוויות בשני המשולשים שוות בהתאמה, כיוון שבכל אחד משני המשולשים הזווית השלישית שווה ל-180° פחות שתי הזוויות האחרות במשולש.
• שלושת היחסים בין הצלעות המתאימות שווים. כלומר ניתן לסדר את המשולשים בצורה כזו שמתאימים לכל צלע במשולש אחד צלע במשולש השני כך שחלוקה של גודל של אחד בגודל של השני תיתן את אותו קבוע עבור שלושת זוגות הצלעות.
• שני יחסים בין הצלעות והזווית בין שתי צלעות אלו שווים.

הקו DE, המקביל לצלע AB, יוצר משולש $\triangle CDE$ הדומה למשולש $\triangle CAB$

במשולשים דומים, בין אורכי הצלעות של המשולש האחד ואורכי הצלעות של המשולש השני קיים יחס קבוע. היחס בין שטחי המשולשים שווה לריבוע היחס שבין הצלעות, ויחס ההיקפים, הגבהים, התיכונים וחוצי הזווית שווה ליחס בין הצלעות.

כאשר במשולש מעבירים קו המקביל לאחת הצלעות, הוא יוצר משולש דומה למשולש המקורי (תכונה זאת ידועה גם בשם משפט תאלס המורחב).

יחס הדמיון הוא יחס שקילות.

קיומם של משולשים דומים שאינם חופפים שקול לאקסיומת המקבילים. כלומר, משולשים דומים קיימים רק בגאומטריה האוקלידית.

העובדה שבמשולשים דומים היחסים בין הצלעות המתאימות שווים מאפשרת למדוד את גובהם של עצמים גבוהים באמצעות מדידת צלם, ולהשתמש בערך משולש. כפי שמוסבר בתלמוד: ”והרוצה לידע כמה גובהו של דקל מודד קומתו וצלו וצל קומתו וידע כמה גובה של דקל” (תלמוד בבלי, מסכת עירובין, דף מ"ג עמוד ב').

ראו גם

• משפט תאלס הראשון