משוואת קצב

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בכימיה פיזיקלית, משוואת קצב או חוק קצב הם כלים לתיאור המהירות בה מתרחשת תגובה מסוימת. למשוואה שימוש נרחב בקינטיקה כימית. משוואת הקצב מקשרת בין קצב התגובה לריכוזים או לחצים של המגיבים והתוצרים בתגובה. באופן כללי, עבור התגובה A + B → C משוואת הקצב תהיה:

$r\;=\;k\left(T\right)\left[A\right]^{m}\left[B\right]^{n}$

כאשר:

• $k$ בטמפרטורה קבועה, הוא קבוע הקצב ויחידותיו משתנות בהתאם לכמות החומרים בריאקציה.
• $m$ הוא הסדר החלקי של חומר A. (הסוגרים המרובעים מציינים ריכוז, בדרך כלל ביחידות מולר.)
• $n$ הוא הסדר החלקי של חומר .B

סכום הסדרים החלקיים הוא הסדר הכולל של הריאקציה. בתגובה אלמנטרית, סכום המקדמים הסטוכיומטרים של המגיבים הוא סדר התגובה.

קיימות משוואות קצב מסובכות יותר עבור תגובות שאינן אלמנטריות. לתגובות כאלה יש מנגנון, המורכב מכמה שלבים של תגובות אלמנטריות. משוואת הקצב היא משוואה דיפרנציאלית. האינטגרל על משוואת הקצב נותן "פתרון" למשוואה, פתרון המקשר בין ריכוזי המגיבים והתוצרים ביחס לזמן.

גם זרזים ומעכבים יכנסו למשוואה, כיוון שלמרות שריכוזם אינו משתנה, הם משפיעים על קצב התגובה. הסדר החלקי של זרזים יהיה חיובי, ומעכבים יהיו בעלי סדר שלילי.

תגובות מסדר אפס

בתגובות מסדר אפס, קצב התגובה אינו תלוי בריכוז המגיבים. העלאת ריכוז המגיבים לא יעלה את קצב התגובה. חוק הקצב לתגובה כזאת יהיה:

$\ r=k$

כאן, יחידותיו של קבוע הקצב תהיינה ריכוז/ זמן. ניתן לתאר את השתנות הריכוז ביחס לזמן לפי:

$r=-{\frac {d[A]}{dt}}=k$

פתרון משוואת הקצב (האינטגרל על חוק הקצב) ייתן:

$\ [A]_{t}=-kt+[A]_{0}$

כאשר $\ [A]_{t}$ מייצג את ריכוז החומר בזמן מסוים, ו $\ [A]_{0}$ מייצג את הריכוז ההתחלתי.

התגובה היא מסדר אפס אם שרטוט גרף של הריכוז כנגד הזמן הוא קו ישר (לינארי). שיפוע הישר הוא K, קבוע הקצב.

זמן מחצית החיים של התגובה מתאר את הזמן הדרוש לחומר להגיע למחצית מריכוזו ההתחלתי. עבור תגובה מסדר אפס הוא יתואר כ:

$\ t_{\frac {1}{2}}={\frac {[A]_{0}}{2k}}$

תגובות מסדר ראשון

תגובות מסדר ראשון תלויות בריכוז של חומר אחד בלבד (תגובה אונימולקולרית). עשויים להיות מגיבים אחרים, אך הסדר החלקי שלהם יהיה אפס. משוואת הקצב תתואר כ:

$\ r=-{\frac {d[A]}{dt}}=k[A]$

בסדר ראשון, יחידותיו של K תהיינה $\ 1/time$ . והאינטגרל על משוואת הקצב יהיה

$\ \ln {[A]}=-kt+\ln {[A]_{0}}$

שרטוט של גרף $\ ln{[A]}$ נגד הזמן, יתן גרף לינארי ששיפועו $\ k$.

בסדר ראשון, זמן מחצית החיים אינו תלוי בריכוז ההתחלתי והוא נתון לפי הנוסחה: $\ t_{\frac {1}{2}}={\frac {\ln {(2)}}{k}}$.

דוגמאות לתגובות מסדר ראשון:

• ${\mbox{H}}_{2}{\mbox{O}}_{2}(l)\rightarrow \;{\mbox{H}}_{2}{\mbox{O}}(l)+{\frac {1}{2}}{\mbox{O}}_{2}(g)$
• ${\mbox{SO}}_{2}{\mbox{Cl}}_{2}(l)\rightarrow \;{\mbox{SO}}_{2}(g)+{\mbox{Cl}}_{2}(g)$
• $2{\mbox{N}}_{2}{\mbox{O}}_{5}(g)\rightarrow \;4{\mbox{NO}}_{2}(g)+{\mbox{O}}_{2}(g)$

תגובות מסדר שני

תגובה מסדר שני תהייה מורכבת משני מגיבים שהסדר החלקי שלהם אחד, או מגיב שהסדר החלקי שלו 2. בהתאמה, משוואת הקצב תראה כך:

$\ r=k[A]^{2}$ or $\ r=k[A][B]$

וחוק הקצב לאחר איטגרציה:

${\frac {1}{[A]}}=kt+{\frac {1}{[A]_{0}}}$ או

${\frac {[A]}{[B]}}={\frac {[A]_{0}}{[B]_{0}}}e^{([A]_{0}-[B]_{0})kt}$

כאשר הריכוזים ההתחלתיים של A ו B חייבים להיות שונים זה מזה.

זמן מחצית החיים עבור תגובה מסדר שני: $\ t_{\frac {1}{2}}={\frac {1}{k[A]_{0}}}$.

את חוק הקצב ניתן להציג גם על ידי:

$\ln {}r=\ln {}k+2\ln \left[A\right]$

דוגמה לתגובה מסדר שני:

• $2{\mbox{NO}}_{2}(g)\rightarrow \;2{\mbox{NO}}(g)+{\mbox{O}}_{2}(g)$

סיכום לתגובות מסדר אפס, ראשון, שני ו n

	סדר אפס	סדר ראשון	סדר שני	סדר n
משוואת הקצב	$-{\frac {d[A]}{dt}}=k$	$-{\frac {d[A]}{dt}}=k[A]$	$-{\frac {d[A]}{dt}}=k[A]^{2}$	$-{\frac {d[A]}{dt}}=k[A]^{n}$
פתרון משוואת הקצב	$\ [A]=[A]_{0}-kt$	$\ [A]=[A]_{0}e^{-kt}$	${\frac {1}{[A]}}={\frac {1}{[A]_{0}}}+kt$	${\frac {1}{[A]^{n-1}}}={\frac {1}{{[A]_{0}}^{n-1}}}+(n-1)kt$ [למעט סדר ראשון]
יחידות קבוע הקצב (k)	${\frac {M}{s}}$	${\frac {1}{s}}$	${\frac {1}{M\cdot s}}$	${\frac {1}{M^{n-1}\cdot s}}$
גרף לינארי לחילוץ k	$[A]\ {\mbox{vs.}}\ t$	$\ln([A])\ {\mbox{vs.}}\ t$	${\frac {1}{[A]}}\ {\mbox{vs.}}\ t$	${\frac {1}{[A]^{n-1}}}\ {\mbox{vs.}}\ t$ [למעט סדר ראשון]
זמן מחצית חיים	$t_{1/2}={\frac {[A]_{0}}{2k}}$	$t_{1/2}={\frac {\ln(2)}{k}}$	$t_{1/2}={\frac {1}{[A]_{0}k}}$	$t_{1/2}={\frac {2^{n-1}-1}{(n-1)k{[A]_{0}}^{n-1}}}$ [למעט סדר ראשון]

ראו גם

• הנחת המצב העמיד
• פסוידו סדר