מחלק משותף מקסימלי

בתורת המספרים, מחלק משותף מרבי (או מחלק משותף גדול ביותר, ממג"ב; וכן gcd קיצור של greatest common divisor) של שני מספרים שלמים הוא המספר הגדול ביותר שמחלק את שניהם. למשל, המחלק המשותף המרבי של 12 ו־18 הוא 6. במושג זה, שהוא אבן פינה בתורת המספרים האלמנטרית, עסק כבר אוקלידס, שאף כלל בספרו, יסודות, אלגוריתם לחישוב המחלק המשותף המרבי.

המחלק המשותף המרבי של שני מספרים הוא מכפלה של כל הגורמים הראשוניים המשותפים לשני המספרים. תכונתו החשובה ביותר של המחלק המשותף המרבי היא שאפשר להציג אותו כצירוף שלם של שני הגורמים שלו. לדוגמה, המחלק המשותף המרבי של 9 ו-14 הוא 1, ואפשר להציג $1=2\cdot 14-3\cdot 9$. תכונה זו מאפשרת לחשב הפכי מודולרי ולפתור משוואות מודולריות; מכיוון שניתן למצוא את הצירוף בצורה יעילה, עולה מכך שניתן לבצע חשבון מודולרי בצורה יעילה.

מקובל לסמן את המחלק המשותף המרבי של שני מספרים $a,b$ בסימון $\gcd \left(a,b\right)$, או בקיצור $(a,b)$.

שני מספרים שהמחלק המשותף המרבי שלהם הוא 1 (כדוגמת 9 ו-14) נקראים מספרים זרים או "ראשוניים הדדית".

למחלק המשותף המרבי יש שימושים רבים בענפים אחרים של האלגברה המופשטת; בדומה למחלק המשותף המרבי של זוג מספרים שלמים, אפשר להגדיר מחלק משותף המרבי גם לזוג פולינומים או שלמים אלגבריים, ובאופן כללי ביותר, לזוג איברים בכל תחום שלמות.

כמה תכונות של המחלק המשותף המרבי

המחלק המשותף המרבי של $a$ ו-$b$ מוגדר היטב, פרט למקרה ש-$a=b=0$ (אז כל מספר מחלק את שניהם). מקרים מיוחדים אחרים הם: $(a,0)=a$; $(a,a)=a$; $(a,1)=1$. תכונה חשובה נוספת, העומדת בבסיס ההגדרה של חבורת אוילר: אם $a,b$ זרים, אז לכל $n$, $(n,ab)=(n,a)(n,b)$. כמו כן, הוא מחלק כל צירוף ליניארי במקדמים שלמים של $a$ ו-$b$ (ולכן בפרט הוא המספר החיובי הקטן ביותר שניתן לקבל כצירוף ליניארי במקדמים שלמים שלהם).

חישוב המחלק המשותף המרבי

את המחלק המשותף המרבי של שני מספרים אפשר לחשב בנקל מתוך הפירוק לגורמים שלהם; כך לדוגמה המחלק המשותף המרבי של 495 ו-525 הוא 15, לפי החישוב:

הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\mbox{gcd}}(495,525)={\mbox{gcd}}(3^{2}\cdot 5\cdot 11,3\cdot 5^{2}\cdot 7)=3\cdot 5=15} .

עם זאת, מציאת הפירוק לגורמים היא בעיה קשה, והרבה יותר קל מבחינה חישובית למצוא את המחלק המשותף המרבי ישירות, ללא חישוב הגורמים הראשוניים.

האלגוריתם של אוקלידס לחישוב המחלק המשותף המרבי הוא האלגוריתם הקדום ביותר שהופיע בכתב, אף על פי שללא ספק היו כבר לבבלים שיטות לביצוע חישובים מסוגים שונים. ראשוניותו בכך שהוא עוסק במפורש במקרה הכללי, ואיננו נדרשים להסיק על הצעדים שהוא מפעיל מתוך דוגמאות בודדות.

האלגוריתם מבוסס על אבחנה יסודית: לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b,q,r} , המחלקים המשותפים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} ושל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} הם גם המחלקים המשותפים ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} ול-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle bq+r} . לפיכך, לשני הזוגות יש אותו מחלק משותף מרבי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (qb+r,b)=(b,r)} . כדי לחשב את המחלק המשותף המרבי של שני מספרים טבעיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a, b} פעל באופן הבא: חלק את המספר הגדול (נאמר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} ), במספר הקטן, וכתוב $a=qb+r$, כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0\leq r<b} היא השארית. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r=0} , אז המחלק המשותף המרבי שווה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} . אחרת, המחלק המשותף המרבי שווה לזה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} ושל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} (ומכיוון שהמספר הגדול בזוג זה קטן מן המספר הגדול בזוג הקודם, התהליך מתקדם ומגיע בהכרח אל סופו).

ידוע שמספר פעולות החילוק בהפעלת האלגוריתם אינו עולה על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_{\varphi}a} (כאן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi} מסמן את יחס הזהב), כאשר החישוב הארוך ביותר (עבור מספרים בגודל נתון) מתרחש בחישוב המחלק המשותף המרבי של מספרי פיבונאצ'י עוקבים. מכאן שמציאת המחלק המשותף המרבי היא יעילה מבחינה חישובית; האלגוריתם פועל במהירות גם עבור מספרים גדולים, בני מאות ספרות.

דוגמה

המחלק המשותף המרבי של 1071 ו־1029 הוא 21. נראה זאת באמצעות האלגוריתם האוקלידי:

a	b	q	r
1071	1029	1	42
1029	42	24	21
42	21	2	0
21	0

הצגת המחלק המשותף המרבי כצירוף שלם של גורמיו

בגרסה מורחבת מעט, מאפשר האלגוריתם האוקלידי לא רק למצוא את המחלק המשותף המרבי של שני מספרים, אלא גם להציג אותו כצירוף של מכפלות שלמות של שני המספרים, כלומר: אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gcd\left(a,b\right)=r} ניתן למצוא $m,n\in \mathbb {Z}$ כך ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ma+nb=r} . האבחנה המרכזית בחישוב היא האבחנה הבאה: אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=qb+r} , וכבר ידועה לנו הצגה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (b,r)} כצירוף ליניארי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (b,r)=mb+nr} , ניתן לקבל משתי המשוואות את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (b,r)} כצירוף ליניארי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b} באמצעות הצבה פשוטה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r=a-qb} ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a,b)=(b,r)=mb+nr=mb+n(a-qb)=na+(m-qn)b} .

ניתן לסכם את האמור לעיל באלגוריתם הבא:

Extended_GCD(a,b)
1. if b == 0 return [a,1,0]
2. q = a/b, r = a%b
3. [d,m,n]=Extended_GCD(b,r)
4. return [d,n,m-qn]

יעילות האלגוריתם זהה בסדר הגודל שלה ליעילות האלגוריתם הפשוט; מספר האיטרציות שמבצע האלגוריתם נותר זהה, ולכל איטרציה התווספו רק חישובים בסיסיים (מציאת q, חישוב m-qn).

מחלק משותף מרבי בתחומי שלמות

בכל חוג קומוטטיבי אפשר להגדיר מחלקים: איבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} מחלק איבר $b$, אם קיים איבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b=ta} . יחס החילוק שהוגדר כאן הוא קדם-סדר חלש (הוא אינו אנטי-סימטרי), ובעזרתו אפשר לדבר על "מחלק מרבי" גם בחוגים שאין בהם יחס סדר טבעי:

• איבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d} הוא מחלק משותף מרבי של איברים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a, b} , אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d} מחלק את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} ואת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} , וכל איבר המחלק את שניהם, מחלק את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d} .

הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה הרגילה, המתאימה רק לחוג השלמים.

להגדרה הכללית יש חיסרון אחד בולט: ברוב החוגים, ישנם זוגות של איברים שאין להם מחלק משותף המרבי. בעיה אחרת היא שהמחלק המשותף המרבי, אם קיים כזה, אינו יחיד; ההגדרה מבטיחה רק ששני מחלקים משותפים מרביים לאותם שני איברים, יחלקו זה את זה (איברים המחלקים זה את זה נקראים "ידידים"). מכיוון שאיברים ידידים יוצרים את אותו אידיאל, אפשר לטפל בבעיה זו על ידי ניסוח ההגדרה בשפה של אידיאלים:

• האידיאל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle d\rangle} הוא מחלק משותף מרבי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} אם זהו האידיאל הראשי המזערי המכיל את האידיאל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle a,b\rangle} .

ישנם תחומי שלמות מיוחדים, שבהם תמיד קיים מחלק משותף מרבי. אחת הדוגמאות היא תחום פריקות יחידה: בחוג כזה, אפשר לכתוב כל זוג איברים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} כמכפלות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=u p_1^{t_1}\dots p_n^{t_n}} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b=v p_1^{s_1}\dots p_n^{s_n}} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u,v} הפיכים ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_1,\dots,p_n} הם ראשוניים של החוג, שאינם ידידים זה לזה. במקרה זה, המחלק המשותף המרבי הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_1^{\min(t_1,s_1)}\dots p_n^{\min(t_n,s_n)}} .

מחלקה מיוחדת יותר של חוגים הם התחומים ראשיים, המתאפיינים בכך שכל אידיאל הוא ראשי. בפרט, האידיאל הנוצר על ידי זוג איברים הוא אידיאל ראשי, והיוצר שלו הוא המחלק המשותף המרבי.

בין התחומים הראשיים, החוגים האוקלידיים מתאפיינים בכך שאפשר לבצע בהם חילוק עם שארית. אלו הם בדיוק החוגים שבהם אפשר לממש את האלגוריתם של אוקלידס שתואר לעיל.

כלי להדגמת רקורסיה

פונקציה המממשת את האלגוריתם של אוקלידס בצורה רקורסיבית משמשת לעיתים קרובות כדי להדגים את העוצמה של שימוש ברקורסיה בתכנות. הפונקציה הבאה שמחשבת gcd מפתיעה בפשטותה, בזכות השימוש ברקורסיה. התחביר מתאים למספר שפות קרובות, ביניהן C ו-Java. ניתן לכתוב פונקציה דומה בכל שפה שתומכת ברקורסיה.

int gcd(int a, int b) {
    if (b==0) return (a);
    else return gcd(b, a % b);
}

ראו גם

• כפולה משותפת מינימלית

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מחלק משותף מקסימלי בוויקישיתוף

• מחשב מחלק משותף מקסימלי
• מחלק משותף מקסימלי, באתר MathWorld (באנגלית)   

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

34014104מחלק משותף מקסימלי