במתמטיקה, מכפלת ואליס לחישוב פאי, הנקראת על שם ג'ון ואליס שגילה אותה בשנת 1655, היא הנוסחה הבאה:
![{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e9e54fef4520f0fcc94caed6d0fd82a14e396af)
בשנת 2015 הפיזיקאי קארל ריצ'רד האיגן (Carl Richard Hagen) הוכיח כי יש קשר בין מכפלת ואליס לחישוב מודל בוהר של אטום חמצן.
הוכחה
הוכחה על בסיס מכפלת אוילר לפונקציית סינוס
- הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}
נציב x =π/2:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {\frac {2}{\pi }}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4n^{2}}}\right)\\\Rightarrow {\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)\\&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c1c775d24d34a9394c8e7dc6b48b5d2839a5ae)
נגדיר:
- הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle I(n)=\int _{0}^{\pi }\sin ^{n}xdx}
נבצע אינטגרציה בחלקים:
![{\displaystyle {\begin{aligned}u&=\sin ^{n-1}x\\\Rightarrow du&=(n-1)\sin ^{n-2}x\cos xdx\\dv&=\sin xdx\\\Rightarrow v&=-\cos x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27c1f56fad19c2a04f7387a59ed4d4ff66504d98)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow I(n)&=\int _{0}^{\pi }\sin ^{n}xdx=\int _{0}^{\pi }udv=uv|_{x=0}^{x=\pi }-\int _{0}^{\pi }vdu\\{}&=-\sin ^{n-1}x\cos x|_{x=0}^{x=\pi }-\int _{0}^{\pi }-\cos x(n-1)\sin ^{n-2}x\cos xdx\\{}&=0-(n-1)\int _{0}^{\pi }-\cos ^{2}x\sin ^{n-2}xdx,n>1\\{}&=(n-1)\int _{0}^{\pi }(1-\sin ^{2}x)\sin ^{n-2}xdx\\{}&=(n-1)\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}xdx-(n-1)\int _{0}^{\pi }\sin ^{n}xdx\\{}&=(n-1)I(n-2)-(n-1)I(n)\\{}&={\frac {n-1}{n}}I(n-2)\\\Rightarrow {\frac {I(n)}{I(n-2)}}\\&={\frac {n-1}{n}}\Rightarrow {\frac {I(2n-1)}{I(2n+1)}}\\&={\frac {2n+1}{2n}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72a697303ef833ef1aeb6630ab48cd38e966020b)
נשתמש במשוואה פונקציונלית הזו בדרך הבאה:
![{\displaystyle {\begin{aligned}I(0)&=\int _{0}^{\pi }dx=x|_{0}^{\pi }=\pi \\I(1)&=\int _{0}^{\pi }\sin xdx=-\cos x|_{0}^{\pi }=(-\cos \pi )-(-\cos 0)=-(-1)-(-1)=2\\I(2n)&=\int _{0}^{\pi }\sin ^{2n}xdx={\frac {2n-1}{2n}}I(2n-2)={\frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}I(2n-4)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c695a0887da46b4d5cb0307218357c8bf551f725)
נחזור על התהליך ונראה כי:
- הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle ={\frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}\cdot {\frac {2n-5}{2n-4}}\cdot \cdots \cdot {\frac {5}{6}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {1}{2}}I(0)=\pi \prod _{k=1}^{n}{\frac {2k-1}{2k}}}
- הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle I(2n+1)=\int _{0}^{\pi }\sin ^{2n+1}xdx={\frac {2n}{2n+1}}I(2n-1)={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}I(2n-3)}
נחזור על התהליך ונראה כי:
![{\displaystyle ={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}\cdot {\frac {2n-4}{2n-3}}\cdot \cdots \cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {2}{3}}I(1)=2\prod _{k=1}^{n}{\frac {2k}{2k+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eda3cca37e87b58e35173f4b79c6b124a66b90c)
![{\displaystyle \sin ^{2n+1}x\leq \sin ^{2n}x\leq \sin ^{2n-1}x,0\leq x\leq \pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3381e5223fdeb96426c56355e403f7049c53dbf8)
![{\displaystyle \Rightarrow I(2n+1)\leq I(2n)\leq I(2n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a5b396dc3b7d480bbc41c23bc2b07f661aa0b99)
, (מהתוצאות הנ"ל)
ניתן לראות על פי כלל הסנדוויץ' כי:
![{\displaystyle \Rightarrow \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3d284350606423ae6aba21e6b32f724853857aa)
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}={\frac {\pi }{2}}\lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{k=1}^{n}\left({\frac {2k-1}{2k}}\cdot {\frac {2k+1}{2k}}\right)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6d2765e8c0d367700dda3ef1521390d44fc9841)
![{\displaystyle \Rightarrow {\frac {\pi }{2}}=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k}{2k-1}}\cdot {\frac {2k}{2k+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/414a124c282cbace8fd083b949eae278cefab585)
קישורים חיצוניים
34014387מכפלת ואליס