מטריצת אפסים

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה ובפרט באלגברה ליניארית, מטריצת אפסים היא מטריצה שכל איבריה הם 0, כלומר אפסים. לדוגמה:

$ 0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\ $

קבוצת המטריצות מסדר m×n בחוג K יוצרת את החוג $ K_{m,n}\, $. מטריצת האפסים $ 0_{K_{m,n}}\, $ ב-$ K_{m,n}\, $ היא המטריצה שכל איבריה שווים ל-$ 0_{K}\, $, כאשר $ 0_{K}\, $ הוא איבר האפס ב-K. דהיינו:

$ 0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}_{m\times n} $

מטריצת האפסים היא איבר האפס ב-$ K_{m,n}\, $, כלומר לכל $ A\in K_{m,n}\, $ מתקיים:

$ 0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A $

עבור החוג K קיימת בדיוק מטריצת אפסים אחת מסדר $ m\times n $, כך שבהקשר ברור ניתן להתייחס אליה כאל מטריצת האפסים. גם איבר האפס מיוצג בדרך כלל באמצעות 0 כך שניתן להגדירה באופן גנרי עבור כל חוג.

מטריצת אפסים מייצגת טרנספורמציה ליניארית המעבירה כל וקטור לווקטור האפס.

בעיית מטריצת האפסים

בעיית מטריצת האפסים מוגדרת בהינתן קבוצה סופית של מטריצות $ n\times n $ עם ערכים שלמים, ושואפת למצוא אלגוריתם מתמטי שיקבע האם ניתן להכפילן בסדר כלשהו, ייתכן עם חזרות, באופן שתוצר ההכפלה יהיה מטריצת האפס.

הוכח כי בעיית מטריצת האפסים עבור קבוצה של 6 או יותר מטריצות $ 6\times 6 $, או של שתי מטריצות $ 15\times 15 $ היא בעיה לא כריעה[1].

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. Cassaigne, Julien; Halava, Vesa; Harju, Tero; Nicolas, Francois (2014). "Tighter Undecidability Bounds for Matrix Mortality, Zero-in-the-Corner Problems, and More"
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מטריצת אפסים34014157Q338028