מונויד בראוור

מונויד בראוור הוא מונויד סופי המכיל את החבורה הסימטרית. עבור n קבוע, אברי המונויד ${{ℬ}}_n$ הם חלוקות של הקבוצה $1,\dots ,n,1^{\prime },\dots ,n^{\prime }$ ל-n זוגות. אפשר לצייר כל חלוקה כזו כמלבן בן שתי עמודות, מ-$1$ עד $n$ בעמודה השמאלית ומ-$1^{\prime }$ עד $n^{\prime }$ בימנית, עם שרוכים המחברים נקודות בזוגות (כל נקודה יכולה להיות מחוברת לכל נקודה אחרת). המכפלה של שני איברים במונויד נעשית על ידי הצבת האיבר הראשון משמאל לשני, זיהוי העמודה השמאלית באיבר השני עם העמודה הימנית באיבר הראשון, והרכבה של הפונקציות החלקיות שהאברים מגדירים. נקודות שהיו מחוברות בעמודה השמאלית של האיבר הראשון נשארות מחוברות, כמו גם נקודות שהיו מחוברות בעמודה הימנית של האיבר השני. עשויות להתקבל לולאות, הנספרות בנפרד. השמטת הלולאות מגדירה מונויד מנה, ${\widetilde{{ℬ}}}_n$. חלוקות המגדירות התאמה בין העמודה השמאלית לימנית מהוות תמורות, והכפל שהגדרנו לעיל הוא במקרה כזה הרכבת התמורות. לכן החבורה הסימטרית $S_n$ מוכלת במונויד ${{ℬ}}_n$ (וגם במנה ${\widetilde{{ℬ}}}_n$).

אלגברת החבורה של מונויד בראוור נקראת אלגברת בראוור. אלגברת בראוור שייכת למשפחה של אלגברות דיאגרמה, שהן מבנים אלגבריים שהפעולות שלהם מוגדרות באמצעות דיאגרמות וציורים. אם במקום חלוקות נראה כל מלבן כאיחוד של שרוכים, כדוגמת קשר או שזר, נקבל מונויד של סבכים (tangles). שני סבכים הם שווים אם אפשר לעבור ביניהם בצעדי ריידמייסטר השני (הרחקת שרוכים המונחים זה על גבי זה, זה מזה) והשלישי (העברת שרוך מעל או מתחת להצטלבות של שני שרוכים אחרים), אבל לא הראשון (התרת לולאה בשרוך נתון). מונויד הסבכים אינו נוצר סופית (אפילו כאשר n=2). תת-המונויד הנוצר על ידי הצמות שבהן נעשית פעולת הצלבה אחת, והסבך שבו מחוברות זו לזו שתי נקודות סמוכות וכך גם הנגדיות להן בשורה האחרת, הוא מונויד בירמן-מורקמי-ונזל, שמסמנים $BM{W}_n$. יש הטלה מן המונויד הזה למונויד בראוור (שכח את המבנה הטופולוגי).

אלגברת טמפרלי-לייב היא תת-האלגברה של אלגברת בראוור הנוצרת על ידי אברי הבסיס שבהם השרוכים אינם חוצים זה את זה.

מונויד בראוור קרוי על שם ריכרד בראוור, אבי חבורת בראוור, אף כי המבנים אינם קשורים זה לזה.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מונויד בראוור41578440