מבחן M של ויירשטראס

באנליזה מתמטית, מבחן M של ויירשטראס הוא מבחן להתכנסות במידה שווה של טור פונקציות ממשיות או מרוכבות.

אם $f_{n}$ הן פונקציות המוגדרות על קבוצה $K$ , וקיימת סדרת קבועים $M_{1},M_{2},\ldots$ כך שהטור $\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}$ מתכנס ולכל $n$ מתקיים ${\bigl |}f_{n}(x){\bigr |}\leq M_{n}$ לכל $x\in K$ , אז טור הפונקציות $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$ מתכנס במידה שווה על $K$ .

מבחן M של ויירשטראס הוא מקרה פרטי של משפט ההתכנסות הנשלטת, כאשר בוחרים את המידה להיות מידת המניה מעל מרחב מידה אטומי.

הוכחה

לכל $x\in K$ קבוע הטור המספרי $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$ מתכנס בהחלט על פי מבחן ההשוואה, לכן הוא גם מתכנס. נסמן את סכומו ב־$S(x)$ ואת הסכום החלקי עד $N$ ב־$S_{N}(x)$ .

$\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}$ מתכנס אז לכל $\varepsilon >0$ קיים $N\in \mathbb {N}$ עבורו $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }M_{n}<\varepsilon$ לכל $n_{0}\geq N$ .

מתקיים:

${\Big |}S_{n_{0}}(x)-S(x){\Big |}=\left|\sum _{n=n_{0}}^{\infty }f_{n}(x)\right|\leq \sum _{n=n_{0}}^{\infty }{\bigl |}f_{n}(x){\bigr |}\leq \sum _{n=N}^{\infty }M_{n}<\varepsilon$

לכל $n_{0}\geq N$ .

ולכן $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$ מתכנס במידה שווה לכל $x\in K$ .

דוגמאות

להלן מספר דוגמאות, מהן ניתן גם ללמוד על אופיו של מבחן ה־M.

• הטור $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(nx)}{n^{3}}}$ מתכנס במידה שווה בכל הממשיים, שכן לכל $x$ ממשי $\left|{\frac {\sin(nx)}{n^{3}}}\right|\leq {\frac {1}{n^{3}}}$ , והטור $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}$ ודאי מתכנס. תחת נימוק דומה, גם $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\arctan(nx)}{n^{2}}}$ מתכנס במידה שווה בכל הממשיים.
• עבור הטור $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(nx)}{n}}$ מבחן ה־M לא עוזר, שכן שכן לכל $x$ ממשי $\left|{\frac {\sin(nx)}{n}}\right|\leq {\frac {1}{n}}$ , אבל $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ לא מתכנס. בכל זאת, הטור מתכנס לכל $x$ ממשי. זו דוגמה בה הכיוון ההפוך של מבחן ה־M לא נכון.
• כידוע, הטור $\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}$ מתכנס לכל $|x|<1$ . לפי מבחן ה־M, לא ניתן להסיק התכנסות במידה שווה על הקטע $(-1,1)$ , כי $|x^{n}|<1$ . עם זאת, לכל $0<r<1$ ניתן להשתמש במבחן ה־M – אז יתקיים $|x^{n}|<r^{n}$ לכל $|x|<r$ , והטור $\sum _{n=0}^{\infty }r^{n}$ מתכנס.