מבחן M של ויירשטראס

באנליזה מתמטית, מבחן M של ויירשטראס הוא מבחן להתכנסות במידה שווה של טור פונקציות ממשיות או מרוכבות.

אם $ f_{n} $ הן פונקציות המוגדרות על קבוצה $ K $ , וקיימת סדרת קבועים $ M_{1},M_{2},\ldots $ כך שהטור $ \sum _{n=1}^{\infty }M_{n} $ מתכנס ולכל $ n $ מתקיים $ {\bigl |}f_{n}(x){\bigr |}\leq M_{n} $ לכל $ x\in K $ , אז טור הפונקציות $ \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x) $ מתכנס במידה שווה על $ K $ .

מבחן M של ויירשטראס הוא מקרה פרטי של משפט ההתכנסות הנשלטת, כאשר בוחרים את המידה להיות מידת המניה מעל מרחב מידה אטומי.

הוכחה

לכל $ x\in K $ קבוע הטור המספרי $ \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x) $ מתכנס בהחלט על פי מבחן ההשוואה, לכן הוא גם מתכנס. נסמן את סכומו ב־$ S(x) $ ואת הסכום החלקי עד $ N $ ב־$ S_{N}(x) $ .

$ \sum _{n=1}^{\infty }M_{n} $ מתכנס אז לכל $ \varepsilon >0 $ קיים $ N\in \mathbb {N} $ עבורו $ \sum _{n=n_{0}}^{\infty }M_{n}<\varepsilon $ לכל $ n_{0}\geq N $ .

מתקיים:

$ {\Big |}S_{n_{0}}(x)-S(x){\Big |}=\left|\sum _{n=n_{0}}^{\infty }f_{n}(x)\right|\leq \sum _{n=n_{0}}^{\infty }{\bigl |}f_{n}(x){\bigr |}\leq \sum _{n=N}^{\infty }M_{n}<\varepsilon $

לכל $ n_{0}\geq N $ .

ולכן $ \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x) $ מתכנס במידה שווה לכל $ x\in K $ .

דוגמאות

להלן מספר דוגמאות, מהן ניתן גם ללמוד על אופיו של מבחן ה־M.

• הטור $ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(nx)}{n^{3}}} $ מתכנס במידה שווה בכל הממשיים, שכן לכל $ x $ ממשי $ \left|{\frac {\sin(nx)}{n^{3}}}\right|\leq {\frac {1}{n^{3}}} $ , והטור $ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}} $ ודאי מתכנס. תחת נימוק דומה, גם $ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\arctan(nx)}{n^{2}}} $ מתכנס במידה שווה בכל הממשיים.
• עבור הטור $ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(nx)}{n}} $ מבחן ה־M לא עוזר, שכן שכן לכל $ x $ ממשי $ \left|{\frac {\sin(nx)}{n}}\right|\leq {\frac {1}{n}} $ , אבל $ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}} $ לא מתכנס. בכל זאת, הטור מתכנס לכל $ x $ ממשי. זו דוגמה בה הכיוון ההפוך של מבחן ה־M לא נכון.
• כידוע, הטור $ \sum _{n=0}^{\infty }x^{n} $ מתכנס לכל $ |x|<1 $ . לפי מבחן ה־M, לא ניתן להסיק התכנסות במידה שווה על הקטע $ (-1,1) $ , כי $ |x^{n}|<1 $ . עם זאת, לכל $ 0<r<1 $ ניתן להשתמש במבחן ה־M – אז יתקיים $ |x^{n}|<r^{n} $ לכל $ |x|<r $ , והטור $ \sum _{n=0}^{\infty }r^{n} $ מתכנס.