משפטי התכנסות מרטינגלים
בערך זה |
בתורת ההסתברות, משפטי התכנסות מרטינגלים של ג'וזף דוּבּ הם אוסף תוצאות אודות התנהגות אסימפטוטית של סופר-מרטינגלים, ובפרט מרטינגלים.
נוסח פורמלי
יהי $ \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right) $ מרחב הסתברות, ותהי $ \left\{F_{t}\right\}_{t\geq 0} $ פילטרציה של המרחב, כלומר סדרה עולה של תת-סיגמא-אלגבראות של $ {\mathcal {F}} $.
יהי $ \left\{N_{t}\right\}_{t\geq 0} $, כאשר $ N_{t}:\Omega \to \mathbb {R} $, סופר-מרטינגל ימני רציף ביחס לפילטרציה הנתונה. כלומר, לכל $ 0\leq s\leq t<\infty $ מתקיים $ N_{s}\geq \mathbf {E} \left[N_{t}\mid F_{s}\right] $.
משפט התכנסות סופר-מרטינגלים הראשון
לכל $ 0\leq t<\infty $, נגדיר $ N_{t}^{-}:=\max \left(-N_{t},0\right) $.
אם מתקיים כי $ \sup _{t\geq 0}\mathbf {E} \left[N_{t}^{-}\right]<\infty $, אז בהסתברות 1 קיים הגבול $ \lim _{t\to \infty }N_{t} $ במובן של התכנסות נקודתית.
משפט התכנסות סופר-מרטינגלים השני
הדברים הבאים שקולים:
- $ \left\{N_{t}\right\}_{t>0} $ אינטגרבילית במידה שווה.
- קיים משתנה מקרי $ N $ בעל אינטגרל סופי, כך שמתקיים $ N_{t}{\underset {\scriptstyle t\to \infty }{\longrightarrow }}N $ גם במובן של התכנסות נקודתית וגם במובן של התכנסות בממוצע.
מסקנה: משפט התכנסות מרטינגלים רציפים
יהי $ \left\{M_{t}\right\}_{t\geq 0} $, כאשר $ M_{t}:\Omega \to \mathbb {R} $, מרטינגל רציף ביחס לפילטרציה הנתונה. כלומר, לכל $ 0\leq s\leq t<\infty $ מתקיים $ M_{s}=\mathbf {E} \left[M_{t}\mid F_{s}\right] $.
אם קיים $ 1<p<\infty $ שעבורו $ \sup _{t>0}\mathbf {E} \left[\left|M_{t}\right|^{p}\right]<\infty $, אזי קיים משתנה מקרי $ M $ עם $ \int _{\Omega }\left|M\right|^{p}d\mu <\infty $, כך שמתקיים $ M_{t}{\underset {\scriptstyle t\to \infty }{\longrightarrow }}M $ גם במובן של התכנסות נקודתית וגם במובן של התכנסות בממוצע.
הערה: אותה התוצאה נכונה גם עבור מרטינגל בזמן בדיד.
משפט התכנסות התוחלת המותנית: חוק האפס-אחד של לוי
יהי $ \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right) $ מרחב הסתברות, ויהי $ X $ משתנה מקרי בעל תוחלת סופית.
תהי $ \left\{F_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } $ פילטרציה של המרחב, כלומר סדרה עולה של תת-סיגמא-אלגבראות של $ {\mathcal {F}} $. נגדיר $ F_{\infty }=\sigma \left(F_{1},F_{2},...\right) $.
אזי מתקיים $ \mathbf {E} \left[X\mid F_{n}\right]{\underset {\scriptstyle n\to \infty }{\longrightarrow }}\mathbf {E} \left[X\mid F_{\infty }\right] $ גם במובן של התכנסות נקודתית וגם במובן של התכנסות בממוצע.
הסיבה לכך שתוצאה זו קרויה "חוק אפס-אחד", היא כי אם $ E\in F_{\infty } $ מאורע כלשהו, אז מהמשפט נובע כי בהסתברות 1, $ \mathbb {P} \left(E\mid F_{n}\right)=\mathbf {E} \left[1_{E}\mid F_{n}\right]{\underset {\scriptstyle n\to \infty }{\longrightarrow }}\mathbf {E} \left[1_{E}\mid F_{\infty }\right]=1_{E} $.
תוצאה זו קובעת במילים פשוטות את העובדה הבאה: אם אנחנו אוגרים מידע אודות מאורע כלשהו שלב אחר שלב, ועוברים על כל השלבים שכולם יחד קובעים את המאורע באופן דטרמיניסטי, אזי בהסתברות 1 ניתן לדעת האם המאורע התרחש או לא.
למרות שתוצאה זו נדמית אינטואיטיבית למדי, יש לה תוצאות חשובות ולא טריוויאליות. כך למשל מתוצאה זו ניתן להסיק את חוק האפס-אחד של קולמוגורוב, שכן נובע ממנה שעבור מאורע זנב מתקיים $ \mathbb {P} \left(E\right)=1_{E} $ בהסתברות 1, ובמילים אחרות $ \mathbb {P} \left(E\right)\in \left\{0,1\right\} $.
שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] משפטי התכנסות מרטינגלים19545540