ליבה מזערית

בתורת המשחקים, ליבה מזערית של משחק שיתופי היא פתרון קבוצתי, כלומר קבוצה של חלוקות אפשריות של הרווח בין כל השחקנים.
הליבה המזערית דומה בהגדרתה לליבה, אך בניגוד לליבה היא לעולם אינה ריקה.

$\epsilon$-ליבה

עבור מספר ממשי $\epsilon \in \mathbb {R}$ ומשחק $\ (N;\nu )$, ה-$\ \epsilon$-ליבה מוגדרת להיות קבוצת וקטורי התשלומים הבאה: $C_{\varepsilon }(N;\nu )=\left\{x\in \mathbb {R} ^{N}:\sum _{i\in N}x_{i}=\nu (N);\quad \sum _{i\in S}x_{i}\geq \nu (S)+\varepsilon ,\forall ~S\subseteq N\right\}$
במונחים כלכליים, זוהי קבוצת כל חלוקות הרווח בין השחקנים כך שאף קואליציה לא יכולה לשפר את הרווח שלה על ידי עזיבת הקואליציה של כל השחקנים, אם היא חייבת לשלם קנס של $\epsilon$ כאשר היא עוזבת.

המושג הוצג לראשונה על ידי שפלי ושוביק ב-1966 , והוא מאפשר לבנות סוג של ליבה גם למשחקים בהם הליבה ריקה. הקבוצה היא תמיד פאון (פוליטופ) ועבור $\ \epsilon =0$ ה-$\ \epsilon$-ליבה שווה לליבה.

הליבה המזערית

הליבה המזערית, אשר הוצגה לראשונה על ידי משלר, פלג ושפלי ב-1979 , מוגדרת להיות $C_{\varepsilon _{0}}(N;\nu )$, כאשר $\varepsilon _{0}=\sup \left\{\varepsilon \in \mathbb {R} :C_{\varepsilon }(N;\nu )\neq 0\right\}$, כלומר ה-$\ \epsilon$ הגדול ביותר כך שה-$\ \epsilon$-ליבה אינה ריקה עבורו. מספר זה מוגדר היטב מכיוון ש-$\ \nu$ פונקציה חסומה. הגדרה שקולה היא חיתוך כל ה-$\ \epsilon$-ליבות הלא ריקות.

כאשר ה-$\ \epsilon$-ליבה אינה ריקה אז היא מכילה את הגרעינון, ולכן גם הליבה המזערית מכילה את הגרעינון (כחיתוך של $\ \epsilon$-ליבות).

לקריאה נוספת

• שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946