כמות צירית
בסטטיסטיקה, כמות צירית היא פונקציה של התצפיות ושל הפרמטרים, אשר התפלגותה אינה תלויה בפרמטרים הבלתי ידועים. יש להבדיל בין כמות צירית לסטטיסטי. בעוד סטטיסטי הוא פונקציה של התצפיות בלבד, כמות צירית היא פונקציה אשר היא וערכיה יכולים להיות תלויים בפרמטרים של המודל, אולם ההתפלגות של אותה פונקציה איננה תלויה באותם פרמטרים.
הגדרה
יהי מדגם אקראי מהתפלגות שתלויה בפרמטר (או וקטור של פרמטרים) .
נגדיר משתנה מקרי אשר התפלגותו זהה לכל . כלומר, ההתפלגות איננה תלויה בפרמטר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta}
.
אזי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g}
נקרא כמות צירית.
כמויות ציריות הן הכרחיות בבנייה של סטטיסטי מבחן, מאחר שהן מאפשרות לסטטיסטי להיות בלתי תלוי בפרמטר.
בנוסף, כמויות ציריות הן כלי לבנייה של רווחי סמך.
דוגמאות
התפלגות נורמלית עם סטיית תקן ידועה
יהיו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_1, y_2, ..., y_n \sim N(\mu,\sigma^2)}
משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים נורמלית, כאשר הפרמטר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma}
ידוע. מתוקף היותם מתפלגים נורמלית אנו יודעים שמתקיים:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar Y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{y_i} \sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})}
לכן, ניתן להפחית ב- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu}
ולקבל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar Y - \mu \sim N(0,\frac{\sigma^2}{n})}
. נמשיך ונחלק ב- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}}
ונקבל הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {{\bar {Y}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\sim N(0,1)}
קיבלנו ביטוי שהוא פונקציה של התצפיות (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar Y, n}
) ושל הפרמטרים (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu,\sigma}
), אולם ההתפלגות של אותו ביטוי היא ההתפלגות הנורמלית עם ממוצע 0 וסטיית תקן 1. כלומר, ההתפלגות של אותו ביטוי איננה תלויה בפרמטרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu,\sigma}
.
התפלגות נורמלית עם סטיית תקן לא ידועה
יהיו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_1, y_2, ..., y_n \sim N(\mu,\sigma^2)}
משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים נורמלית, כאשר הפרמטר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma}
אינו ידוע.
נשתמש באומד בלתי מוטה לשונות. אנחנו יודעים ש: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^2 = \frac{\sum (y_i - \bar Y)^2}{n-1} \sim \chi _{n-1}^2 \frac{\sigma^2}{n-1}}
.
נחלק ב- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma^2}
ונקבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{S^2}{\sigma^2} \sim \frac{\chi _{n-1}^2}{n-1}}
. כעת, נשתמש בעובדה ש: הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {N(0,1)}{\sqrt {\chi _{n-1}^{2}/(n-1)}}}\sim t_{n-1}}
ונקבל:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{(\bar Y-\mu)/(\sigma/\sqrt{n})}{\sqrt{S^2/\sigma^2}} = \frac{\sqrt{n}(\bar Y-\mu)}{S} \sim t_{n-1}}
. קיבלנו פונקציה של התצפיות ושל הפרמטרים אשר מתפלגת בהתפלגות t, ואיננה תלויה בפרמטרים (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu,\sigma}
). לכן זוהי כמות צירית.
התפלגות אקספוננציאלית
יהיו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_1, y_2, ..., y_n \sim exp(\theta)}
משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים אקספוננציאלית.
נשים לב לקשר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_i \sim exp(\theta) = \frac{1}{2\theta}\chi _2^2 = \Gamma(1,\theta)}
.
לפיכך נקבל גם ש: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{i=1}^n{y_i} = \frac{1}{2\theta}\chi _{2n}^2 = \Gamma(n,\theta)}
. נכפול ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\theta}
ונקבל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\theta\sum_{i=1}^n{y_i} = \chi _{2n}^2}
.
קיבלנו ש: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\theta\sum_{i=1}^n{y_i}}
היא כמות צירית, מאחר שההתפלגות שלה איננה תלויה בפרמטר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta}
.