כמות צירית

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בסטטיסטיקה, כמות צירית (באנגלית, pivot) היא פונקציה של התצפיות ושל הפרמטרים, אשר התפלגותה אינה תלויה בפרמטרים הבלתי ידועים.

לעיתים נוטים להתבלבל בין כמות צירית לבין סטטיסטי. כמות צירית מובחנת מסטטיסטי בכך שסטטיסטי הוא פונקציה של התצפיות בלבד, ואילו כמות צירית היא פונקציה העשויה להיות תלויה בנוסף גם בפרמטרים של המודל, אולם התפלגותה אינה תלויה באותם פרמטרים.

הגדרה

יהי X=(X1,X2,,Xn) מדגם אקראי מהתפלגות שתלויה בפרמטר (או וקטור של פרמטרים) θ. אם g(X,θ) הוא משתנה מקרי אשר התפלגותו זהה לכל θ, ואיננה תלויה בו, אזי g נקרא כמות צירית.

כמויות ציריות הן הכרחיות בבנייה של סטטיסטי מבחן, מאחר שהן מאפשרות לסטטיסטי להיות בלתי תלוי בפרמטר. בנוסף, כמויות ציריות הן כלי לבנייה של רווחי סמך.

דוגמאות

התפלגות נורמלית עם סטיית תקן ידועה

יהיו y1,y2,,ynN(μ,σ2) משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים נורמלית, כאשר הפרמטר σ ידוע. מתוקף היותם מתפלגים נורמלית אנו יודעים שמתקיים: Y¯=1ni=1nyiN(μ,σ2n)
לכן, ניתן להחסיר μ ולקבל: Y¯μN(0,σ2n). נמשיך ונחלק ב- σ2n ונקבל Y¯μσ/nN(0,1)
קיבלנו ביטוי שהוא פונקציה של התצפיות (Y¯,n) ושל הפרמטרים (μ,σ), אולם ההתפלגות שלו היא ההתפלגות הנורמלית עם ממוצע 0 וסטיית תקן 1. בפרט, מדובר בכמות צירית, שכן ההתפלגות של אותו הביטוי איננה תלויה בפרמטרים μ,σ.

התפלגות נורמלית עם סטיית תקן לא ידועה

יהיו y1,y2,...,ynN(μ,σ2) משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים נורמלית, כאשר הפרמטר σ אינו ידוע.
נשתמש באומד חסר הטיה לשונות. אנחנו יודעים ש: S2=(yiY¯)2n1χn12σ2n1.

נחלק ב- σ2 ונקבל S2σ2χn12n1. כעת, נשתמש בעובדה ש: N(0,1)χn12/(n1)tn1 ונקבל:

(Y¯μ)/(σ/n)S2/σ2=n(Y¯μ)Stn1 . זוהי פונקציה של התצפיות ושל הפרמטרים אשר מתפלגת בהתפלגות t, ואיננה תלויה בפרמטרים (μ,σ), ולכן היא כמות צירית.

התפלגות מעריכית

יהיו y1,y2,...,ynexp(θ) משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים מעריכית. נשים לב לקשר: xiexp(θ)=12θχ22=Γ(1,θ).
לפיכך מתקבל גם כי: i=1nyi=12θχ2n2=Γ(n,θ). נכפול ב-2θ ונקבל: 2θi=1nyi=χ2n2.
קיבלנו ש: 2θi=1nyi היא כמות צירית, מאחר שההתפלגות שלה איננה תלויה בפרמטר θ.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

כמות צירית36097562Q7199665