כוח גאות

כוכב השביט שומייקר לוי 9 מתפרק בהשפעת כוחות הגאות והשפל של כוכב הלכת צדק. שימו לב כי החלקים בצידה השמאלי של התמונה, הקרובים לצדק, נעים במהירות גבוהה יותר מאשר החלקים בצד ימין של התמונה, הרחוקים ממנו.

כוחות הגאות והשפל של כוכב הלכת שבתאי מונעים מהחלקיקים המרכיבים את טבעותיו להתמזג לירחים בהשפעת כוח המשיכה שלהם.

כוחות גאות הם תופעה שיורית של כוח המשיכה, והם המקור לתופעת הגאות והשפל, כמו גם למספר תופעות נוספות, הנסקרות בהמשך. מקורם של כוחות הגאות הוא באי אחידותו של שדה הכבידה לאורך קוטרו (המקביל לציר הכוח) של הגוף עליו הוא פועל. עוצמתו של שדה הכבידה של גוף מסוים, עלולה להיות חזקה בצורה משמעותית בצד הקרוב של גוף אחר עליו הוא פועל, ובצד הרחוק שלו. לכן, נוצרת מתיחות בקצוות של הגוף השני, דבר שעלול להוביל, במקרים יותר קיצוניים, להתפרקותו של הגוף השני. כוחות גאות ושפל לא היו מתקיימים בשדה כבידה אחיד, מאחר שבשדה כבידה אחיד כל פיסת חומר נמשכת אל מקור השדה בכוח שווה.

דוגמאות לפעולתם של כוחות גאות

• כוחות גאות הפועלים על גוף כדורי, יגרמו לפחיסתו של הגוף תוך שהם שומרים על נפחו המקורי. הכדור יהפוך, לפיכך, לאליפסואיד, תופעה המתרחשת בעת גאות ושפל. כוח המשיכה הלא אחיד שמפעיל הירח על כדור הארץ גורם לכך שהחלק הקרוב לירח יימשך אליו בצורה יותר חזקה מאשר החלק הרחוק ממנו. מאחר שמסתו של כדור הארץ גדולה בשני סדרי גודל ממסת הירח, היא כמעט אינה מושפעת מכבידת הירח, והשפעת הכוחות באה לידי ביטוי בעיקר באוקיינוסים.
• כוחות הגאות והשפל שיוצר כוכב הלכת שבתאי מונעים מהטבעות שלו להתלכד ליצירת ירחים, בהשפעת כוח המשיכה ביניהם.
• טרם נפילתו אל כוכב הלכת צדק, כוכב השביט שומייקר לוי 9 התפרק בהשפעת כוחות הגאות והשפל של צדק.

ניתוח מתמטי

ניתן להיעזר בחשבון אינפיניטסימלי על מנת לחשב את כוחות הגאות והשפל, קרי את ההפרש בין כוחות המשיכה בצד הקרוב והרחוק מהגוף המפעיל את השדה.
כוח הכבידה שמפעיל גוף מסוים במרחק R ממנו נתון בנוסחה: $\ F={\frac {GMm}{R^{2}}}$.

הפרשי השדות (בהנחה ש-h הוא אורכו של הגוף ביחס לציר השדה, וכמו כן h<<R) אם כך בנוסחה: $F(R)-F(R+h)={\frac {GMm}{R^{2}}}-{\frac {GMm}{(R+h)^{2}}}=-hF'(R)={\frac {2hGMm}{R^{3}}}$

כאשר G הוא קבוע הכבידה העולמי, M היא מסת הגוף המפעיל את הכוח, m היא מסת הגוף עליו פועל הכוח, ו-R הוא המרחק בין מרכז הגוף הראשון לצידו הקרוב של הגוף השני.

ניתוח של צורת הגאות והשפל הנגרמת מכבידת הירח

בחלק זה ננתח את גובה פני הים $r(\theta )=R+h(\theta )$ כפונקציה של הזווית $\theta$ בין הרדיוס לנקודה לקו הישר שמחבר בין מרכז הארץ והירח. בעיה זו שקולה למעשה לחישוב כוחות הגאות שמפעיל הירח על מימי כדור הארץ, שכן מצורת פני הים ניתן להקיש את כוחות הגאות. ראשית, מינוח:

• $M_{E},M_{m}$ הם מסת כדור הארץ והירח בהתאמה.
• $\omega$ היא המהירות הזוויתית של מערכת הארץ ירח סביב מרכז המסה המשותף.
• $r(\theta ),h(\theta ),R$ הם מרחק נקודה על פני הים ממרכז כדור הארץ, גובה פני הים ורדיוס כדור הארץ בהתאמה.
• $r_{c.m},l,L,r_{m}$ הם מרחק נקודה על פני הים ממרכז המסה של מערכת הארץ-ירח, מרחק מרכז כדור הארץ ממרכז המסה, מרחק מרכז הארץ ממרכז הירח, ומרחק נקודה על כדור הארץ ממרכז הירח.

כדי לתאר את צורת פני האוקיינוס נרשום את הביטוי לאנרגיה הפוטנציאלית הכוללת (של נקודה על פני הים) עקב משיכת הירח, משיכת כדור הארץ והתאוצה הצנטריפוגלית. אם פני הים לובשים צורה מסוימת, צורה זו היא בהכרח משטח שווה פוטנציאל של האנרגיה הזאת. לכן:

$U(r,\theta )=-{\frac {1}{2}}\omega ^{2}r_{c.m}^{2}-{\frac {GM_{E}}{r}}-{\frac {GM_{m}}{r_{m}}}$

ניעזר במשפט הקוסינוסים כדי להביע את פונקציות המרחק $r_{c.m}(\theta ),r_{m}(\theta )$ ונקבל:

$r_{c.m}^{2}=r^{2}-2rlcos\theta +l^{2}$

$r_{m}^{2}=L^{2}-2rLcos\theta +r^{2}$

כוחות הגאות בנקודות שונות על היקף כדור הארץ

ניעזר כעת בקירוב מסדר שני הבא עבור ערכים נמוכים של היחס $a=r/L$:

${\frac {1}{\sqrt {1+a^{2}-2acos\theta }}}\approx 1+acos\theta +{\frac {a^{2}(3cos^{2}\theta -1)}{2}}$

ונקבל כי הביטוי לאנרגיה הפוטנציאלית הכוללת הוא:

$U(r,\theta )=-{\frac {1}{2}}\omega ^{2}r^{2}-{\frac {GM_{E}}{r}}-{\frac {GM_{m}r^{2}(3cos^{2}\theta -1)}{2L^{3}}}$

כאשר במעבר האחרון נסמכנו על העובדה ש-$\omega ^{2}l={\frac {GM_{m}}{L^{2}}}$ היות שהתאוצה הצנטריפטלית של כדור הארץ אל מרכז המסה היא למעשה תאוצת הנפילה החופשית שלו אל הירח. עובדה זו גרמה להתקזזות של שני איברים, שמשום כך אינם מופיעים בביטוי לאנרגיה הפוטנציאלית (שכן $\omega ^{2}rlcos\theta -GM_{m}{\frac {r}{L^{2}}}cos\theta =0$). מן הנוסחה לאנרגיה הפוטנציאלית ניתן להסיק מיידית את הרכיב המשיקי והרכיב הרדיאלי של כוחות הגאות:

$T_{r}=-{\frac {\partial U}{\partial r}}-{\frac {GM_{E}}{r^{2}}}={\frac {GM_{m}r}{L^{3}}}(3cos^{2}\theta -1)\approx {\frac {GM_{m}R}{L^{3}}}(3cos^{2}\theta -1)$

$T_{\theta }=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U}{\partial \theta }}={\frac {3GM_{m}rsin2\theta }{2L^{3}}}\approx {\frac {3GM_{m}Rsin2\theta }{2L^{3}}}$

ניעזר כעת בקירובים הבאים:

${\frac {1}{r}}={\frac {1}{R+h}}\approx {\frac {1}{R}}-{\frac {h}{R^{2}}}$

$r^{2}=R^{2}+2Rh+h^{2}\approx R^{2}+2Rh$

ונקבל:

$U(r,\theta )=const-\omega ^{2}Rh-{\frac {GM_{E}h}{R^{2}}}-{\frac {GM_{m}r^{2}(3cos^{2}\theta -1)}{2L^{3}}}$

האיבר השמאלי מקיים $\omega ^{2}Rh={\frac {G(M_{E}+M_{m})Rh}{L^{3}}}$ ולכן הוא קטן בהרבה מהאיבר השני (קטן בערך פי $({\frac {R}{L}})^{3}$, כלומר בכמה סדרי גודל) וניתן להזנחה. אם נכייל, בלי הגבלת הכלליות, את הפוטנציאל הכולל להיות 0 על פני הים, אז נקבל את הנוסחה לגובה פני הים כפונקציה של הזווית:

$h(\theta )={\frac {M_{m}r^{2}R^{2}}{2M_{E}L^{3}}}(3cos^{2}\theta -1)\approx {\frac {M_{m}R^{4}}{2M_{E}L^{3}}}(3cos^{2}\theta -1)$

מן הנוסחה עולה שבעת גאות (כאשר $\theta =0,\pi$) התרוממות פני הים חזקה יותר (פי 2) מאשר ירידת פני המים בעת שפל (כאשר $\theta =\pi /2,3\pi /2$).

הערה: הפיתוח שתואר כאן מניח $h<<R$, הנחה שאינה תקפה כאשר מנסים לקבל למשל, את גבול רוש (גבול רוש מתייחס למקרה הקיצוני של כוחות גאות שגוברים על הכבידה העצמית של הכוכב, ולכן מפרקים אותו לחלקים).

כוחות גאות בסביבת גוף על-מסיבי

מהתבוננות בנוסחה ניתן לראות, כי כוחות הגאות והשפל עומדים ביחס ישר למסת הגוף המפעיל את הכוח. מכאן ניתן להסיק, כי כוחות אלה גדולים במיוחד בסביבת גופים על-מסיבים, ככוכבי ניטרונים וחורים שחורים. בגופים אלה כוחות הגאות והשפל כה חזקים, עד כי בשלב מסוים הם קורעים את הגוף עליו הם פועלים לגזרים, בתהליך המוכר כספגטיפיקציה.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא כוח גאות בוויקישיתוף

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

32649892כוח גאות