ייצוג של חבורה

בתורת החבורות, ייצוג חבורה על ידי יוצרים ויחסים היא דרך הגדרה או אפיון של חבורה. בשיטה זו ישנה קבוצת יוצרים, המקיימים יחסים מסוימים. למשל, חבורה ציקלית סופית מסדר $n$ ניתן להציג על ידי $\langle a\mid {a}^{n}=1\rangle$.

הגדרה

חבורה חופשית מעל קבוצה $S$ מוגדרת כקבוצת כל המילים (הסופיות) מחזקות של איברי $S$, והפעולה היא שרשור. נסמנה ${F}_{S}$. התכונה המיוחדת של חבורה חופשית הוא שאיבריה לא מקיימים אף יחס לא טריוויאלי ביניהם, ומכאן שמה.

בהינתן קבוצה כלשהי של מילים $R$ באיברי $S$, מגדירים את החבורה הנוצרת על ידי $S$ עם היחסים $R$ בתור חבורת המנה של ${F}_{S}$ עם הסגור המוצמד שלו, שהוא תת-החבורה הנורמלית הקטנה ביותר שמכילה את $R$. את ההצגה מסמנים ב- $\langle S\mid R\rangle$.

את איברי $S$ נהוג לכנות יוצרי החבורה, ואילו איברי $R$ הם יחסי החבורה.

אומרים כי לחבורה $SG$ יש הצגה מהצורה $\langle S\mid R\rangle$ אם G איזומורפית לחבורה $\langle S\mid R\rangle$.

אם בהצגה של $G$ הקבוצה $S$ סופית, אומרים כי $G$ מוצגת סופית.

לעיתים, במקום לסמן את היחס בתור מילה $w$, כותבים $w=1$. כך למשל, החבורה הציקלית הסופית מקבלת את ההצגה $\langle a\mid {a}^{n}=1\rangle$.

תכונות

ראשית, לכל חבורה יש ייצוג על ידי יוצרים ויחסים: כדי להוכיח זאת, נביט באפימורפיזם הטבעי מ${F}_{G}\rightarrow G$, השולח כל יוצר של החבורה החופשית לעצמו. הגרעין $K$ של העתקה זו הוא ודאי קבוצה נורמלית, והיא בדיוק הקבוצה שמייצגת את היחסים של החבורה $G$. אם כן, הייצוג של החבורה הנו $\langle G\mid K\rangle$.

יש להדגיש כי ההוכחה שהוצגה לעיל איננה בעלת אופי יישומי, משום שבייצוג שהוגדר ישנו שימוש בכל איברי החבורה ובכמות גדולה של יחסים (לרוב אינסופי); מציאת ייצוג נוח עלולה להיות משימה קשה.

לכל חבורה סופית יש ייצוג סופי, משום שאפשר לקחת את איברי החבורה G כיוצרים, ואת קבוצת היחסים להיות טבלת הכפל של החבורה.

ייצוג של חבורה איננו יחיד - הבעיה של לזהות שתי הצגות לאותה החבורה היא בעיה נפוצה בתחומים שונים במתמטיקה; בעיה זו איננה כריעה, ולעיתים מתגלה כמאוד קשה ומהותית.

דוגמאות

• כאמור לעיל, חבורה חופשית מעל קבוצה $S$ היא בעלת קבוצת יחסים ריקה, וייצוגה הוא: $\langle S\mid \emptyset \rangle$.

• החבורה הדיהדרלית מסדר $n$ היא בעלת הייצוג ${D}_{n}=\langle s,r\mid r^{n},s^{2},s^{-1}rsr\rangle$. אינטואיטיבית, $r$ הוא סיבוב ב-${\frac {2\pi }{n}}$ רדיאנים נגד השעון ו-$s$ הוא שיקוף.

• לחבורה הסימטרית ישנם מספר ייצוגים שונים, אליהם ניתן להגיע מתפישות גאומטריות שונות של החבורה. להלן אחד הייצוגים הנפוצים שלה:

$S_{n}=\langle \sigma _{1},\dots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}^{2}=1,\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\quad (i\neq j+1),\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}\rangle$

• לחבורת הצמות ישנו הייצוג הבא:

$B_{n}=\left\langle \sigma _{1},...,\sigma _{n-1}|{\begin{matrix}\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i},\quad \quad \quad \quad \quad |i-j|\geq 2\\\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}=\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i},\quad 1\leq i\leq n-2\end{matrix}}\right\rangle$.

• חבורת הקווטרניונים מוצגת על ידי $\langle i,j,k\mid {i}^{2}={j}^{2}={k}^{2}=ijk=-1\rangle$.

• לחבורת אייזנברג ייצוג $\langle x,y,z\mid z=xyx^{-1}y^{-1},xz=zx,yz=zy\rangle \,\!$.

ראו גם

• חבורה חופשית
• חבורה מוצגת סופית
• ייצוג של אלגברה