מטריצת סיבוב
מטריצת סיבוב היא מטריצת מעבר שכאשר מכפילים אותה בווקטור אחד או יותר היא משנה את כיוונם מבלי לשנות את גודלם.
תכונות
תהי $ {\mathcal {M}} $ מטריצת סיבוב מסדר $ \ n\times n $. מטריצת סיבוב מוגדרת כמטריצה אורתוגונלית בעלת דטרמיננטה 1. לכן:
- המטריצה משמרת את המכפלה הסקלרית:
- $ \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ={\mathcal {M}}\mathbf {A} \cdot {\mathcal {M}}\mathbf {B} $
- המטריצה ההפוכה של מטריצת הסיבוב היא המטריצה המשוחלפת שלה:
- $ {\mathcal {M}}\,{\mathcal {M}}^{-1}={\mathcal {M}}\,{\mathcal {M}}^{\top }={\mathcal {I}} $ כאשר$ {\mathcal {I}} $ היא מטריצת היחידה.
- ניתן להציג מטריצת סיבוב כאקספוננט של מטריצה אנטיסימטרית A:
- $ {\mathcal {M}}=\exp(\mathbf {A} )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\mathbf {A} ^{n}}{n!}} $
- כאשר את האקספוננט נפתח בעזרת טור טיילור ואת $ \mathbf {A} ^{n} $ נגדיר בעזרת כפל מטריצות.
דו-ממד
בדו-ממד, ניתן להגדיר את מטריצת הסיבוב בעזרת זווית $ \theta $, כאשר מוסכם כי זווית חיובית מסובבת נגד כיוון השעון. המטריצה לסיבוב וקטור בזווית $ \theta $ היא:
- $ R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos {\theta }&-\sin {\theta }\\\sin {\theta }&\cos {\theta }\end{bmatrix}} $
כיוון סיבוב הווקטור הוא נגד כיוון השעון אם θ חיובי (למשל 90°), ועם כיוון השעון אם θ שלילי (למשל 90°-). לפיכך מטריצת הסיבוב עם כיוון השעון היא:
- $ R(-\theta )={\begin{bmatrix}\cos {\theta }&\sin {\theta }\\-\sin {\theta }&\cos {\theta }\end{bmatrix}} $
ניתן גם להוכיח כי כל מטריצה $ 2\times 2 $ אורתוגונלית עם דטרמיננטה 1 היא מצורה זו.
מטריצות סיבוב נפוצות:
$ {\begin{aligned}R(90^{\circ })&={\begin{bmatrix}0&1\\[3pt]-1&0\\\end{bmatrix}}\\R(180^{\circ })&={\begin{bmatrix}-1&0\\[3pt]0&-1\\\end{bmatrix}}\\R(270^{\circ })&={\begin{bmatrix}0&-1\\[3pt]1&0\\\end{bmatrix}}\end{aligned}} $
תלת-ממד
- מטריצת הסיבוב סביב ציר ה- $ x $ בזווית $ \theta _{x} $ היא:
- $ {\mathcal {R}}_{x}(\theta _{x})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos {\theta _{x}}&-\sin {\theta _{x}}\\0&\sin {\theta _{x}}&\cos {\theta _{x}}\end{bmatrix}}=\exp \left({\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-\theta _{x}\\0&\theta _{x}&0\end{bmatrix}}\right) $
- מטריצת הסיבוב סביב ציר ה- $ y $ בזווית $ \theta _{y} $ היא:
- $ {\mathcal {R}}_{y}(\theta _{y})={\begin{bmatrix}\cos {\theta _{y}}&0&\sin {\theta _{y}}\\0&1&0\\-\sin {\theta _{y}}&0&\cos {\theta _{y}}\end{bmatrix}}=\exp \left({\begin{bmatrix}0&0&\theta _{y}\\0&0&0\\-\theta _{y}&0&0\end{bmatrix}}\right) $
- מטריצת הסיבוב סביב ציר ה- $ z $ בזווית $ \theta _{z} $ היא:
- $ {\mathcal {R}}_{z}(\theta _{z})={\begin{bmatrix}\cos {\theta _{z}}&-\sin {\theta _{z}}&0\\\sin {\theta _{z}}&\cos {\theta _{z}}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=\exp \left({\begin{bmatrix}0&-\theta _{z}&0\\\theta _{z}&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\right) $
כל סיבוב סביב כל ציר אחר ניתן להצגה כהרכבה של מטריצות מהסוג הזה.
ראו גם
קישורים חיצוניים
- מטריצת סיבוב, באתר MathWorld (באנגלית)
מטריצת סיבוב35138173Q1256564