בתורת האמידה ובסטטיסטיקה, חסם צ'פמן-רובינס (Chapman-Robbins Bound; לעיתים חסם המרסלי-צ'פמן-רובינס) הוא חסם תחתון על השונות של אומדים של פרמטרים דטרמיניסטיים. חסם זה הינו הכללה של חסם קרמר-ראו, ובהשוואה אליו - הוא הדוק יותר ומתאים למגוון רחב יותר של בעיות. עם זאת, חישובו לרוב מסובך יותר.
החסם נגזר לראשונה ובאופן בלתי-תלוי על ידי ג'ון המרסלי ב-1950 ועל ידי דאגלס צ'פמן והרברט רובינס ב-1951. זהו מקרה פרטי של חסם ברנקין (Barankin) המורכב יותר.
החסם
יהי פרמטר דטרמיניסטי לא-ידוע, ויהיה אומד של פונקציה כלשהי של הפרמטר, . יהי . הפילוג של (שתלוי ב-), ונניח כי הוא מוגדר היטב וחיובי לכל ולכל .
אם הוא אומד חסר-הטיה של , כלומר:
אז לפי חסם צ'פמן-רובינס:
- .
למעשה, אי השוויון (ללא הוצאת הסופרמום) מתקיים לכל , ולכן החסם ההדוק ביותר הוא כאשר הביטוי מקבל את הסופרמום שלו לפי . התנאי לקיומו של החסם הוא שהתומך של יהיה מוכל בתומך של .
הקשר לחסם קרמר-ראו
חסם צ'פמן-רובינס (הביטוי ללא הסופרמום) מתכנס לחסם קרמר-ראו כאשר , בהנחה שהתנאים הרגולריים הדרושים מתקיימים (ראו בערך). מתוך כך, חסם צ'פמן-רובינס הוא תמיד הדוק לכל הפחות כמו קרמר-ראו. יתר על-כן, חסם צ'פמן-רובינס קיים תחת תנאים רגולריים חלשים משמעותית מאלו של חסם קרמר-ראו. כך למשל, להוכחת החסם לא נדרש כי הפילוג יהיה גזיר. במקרים כאלו, האינפורמציה של פישר לא מוגדרת, ולכן חסם קרמר-ראו לא קיים.
הוכחת החסם
הוא משערך חסר-הטיה, ולכן מתקיים:
חיסור המשוואות:
בנוסף מתקיים:
נחסיר בין שתי המשוואות האחרונות, לקבלת:
כלומר:
העלאת המשוואה בריבוע ואי-שוויון קושי-שוורץ יניבו:
ומכאן:
שזהו החסם המבוקש.
ראו גם
לקריאה נוספת
- Hammersley, J. M. (1950), "On estimating restricted parameters", Journal of the Royal Statistical Society, Series B 12 (2): 192–240.
- Chapman, D. G.; Robbins, H. (1951), "Minimum variance estimation without regularity assumptions", Annals of Mathematical Statistics 22 (4): 581–586.
- Lehmann, E. L.; Casella, G. (1998), Theory of Point Estimation (2nd ed.), Springer.