חסם ברנקין
חסם ברנקין (באנגלית: Barankin Bound), חסם תחתון על השונות של אומדים חסרי-הטיה של פרמטרים דטרמיניסטיים. זוהי הכללה של חסמי קרמר-ראו וצ'פמן-רובינס, ובהשוואה אליהם - הוא הדוק יותר. למעשה, זהו החסם התחתון ההדוק ביותר שקיים על השונות האמורה (Greatest lower bound), וחסרונו בכך שלפעמים קשה לחשב אותו.
החסם נגזר לראשונה על ידי אדוארד ברנקין (Edward William Barankin) ב-1949.
החסם
נניח שהתפלגות המשתנה המקרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ X} תלויה בפרמטר הדטרמיניסטי , ומתוארת על ידי פונקציית הצפיפות . תחת תנאים רחבים, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T(X)} הוא אומד חסר-הטיה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \theta} , כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathrm{E}\left[T(X)\right]=\theta} (ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Var \left[T(X) \right]=\mathrm{E} \left[(T(x)-\theta)^2\right]} ), אז לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a_1,...,a_n,h_1,...,h_n} מתקיים:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ Var \left[T(X) \right] \ge \frac{\left[\sum_{k=1}^n a_k \cdot h_k\right]^2}{\mathrm{E}\left\{\left[\sum_{k=1}^n a_k \cdot \frac{p(x;\theta+h_k)-p(x;\theta)}{p(x;\theta)}\right]^2\right\}}} .
במעבר לגבול שבו המרחק המקסימלי בין ערכי h שואף לאפס, מתקבלת צורה רציפה של החסם, שנגזרה על ידי ג'ק קיפר (Jack Kiefer):
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ Var \left[T(X) \right] \ge \frac{\left[e_1-e_2 \right]^2}{\mathrm{E} \left\{ \left[\int \frac{p(x;\theta+H)}{p(x;\theta)} \cdot (p_{h1}(H)-p_{h2}(H)) \,dH \right]^2 \right\}}} .
כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p_{h1},p_{h2}} הן פונקציות התפלגות שרירותיות, ו- הן התוחלות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ h} לפי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p_{h1},p_{h2}} בהתאמה.
מכיוון שהחסם מתקיים לכל בחירה של a,h (במקרה הראשון) ושל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p_{h1}, p_{h2}} (בשני), הוא נשאר נכון גם כשמחליפים את אגף ימין בסופרימום על כל האפשרויות.
הוכחת החסם
נוכיח את הצורה השנייה של החסם. נסמן:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A=T(X)-\theta}
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ B=\int \frac{p(x;\theta+H)}{p(x;\theta)} \cdot (p_{h1}(H)-p_{h2}(H)) \,dH}
מתוך חוסר הטיה, לכל H מתקיים:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \int \left[T(x)-(\theta+H)\right]\cdot p(x;\theta+H) \,dx=0}
לכן, מתוך העברת אגפים ושימוש בתכונות של פונקציות פילוג:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \int \left[T(x)-\theta \right] \cdot p(x;\theta+H) \,dx= H}
נבחן את תוחלת המכפלה של A,B. מצד אחד (תחת תנאים רגולריים המאפשרים החלפת סדר אינטגרציה):
![{\displaystyle \ \mathrm {E} (A\cdot B)=\int \mathrm {E} \left[(T(X)-\theta )\cdot {\frac {p(X;\theta +H)}{p(X;\theta )}}\right]\cdot (p_{h1}(H)-p_{h2}(H))\,dH}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b18b15e5e7bcf350f79c7829be9a6dd56ebec51e)
התוחלת הפנימית היא בדיוק H, כפי שהראינו לעיל מתוך חוסר ההטיה. לכן, נקבל:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathrm{E}(A\cdot B)=\int H \cdot (p_{h1}(H)-p_{h2}(H)) \,dH=e_1-e_2} .
מצד שני, לפי אי-שוויון קושי-שוורץ:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathrm{E}(A\cdot B) ^2 \le \mathrm{E}(A^2) \cdot \mathrm{E}(B^2)}
לאחר הצבת כל הגדלים באי-שוויון זה מקבלים בדיוק את החסם.
על-מנת לקבל את הגרסה של ברנקין, יש להציב:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p_{h2}(H)=\delta(H)}
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p_{h1}(H)=\sum_{k=1}^n a_k \cdot \delta(H-h_k)}
כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \delta} היא הדלתא של דיראק.
לקריאה נוספת
- Barankin E. W. (1949), "Locally Best Unbiased Estimates", Annals of Mathematical Statistics 20 (4): 477-501.
- Kiefer J. (1952), "On Minimum Variance Estimators", Annals of Mathematical Statistics 23 (4): 627-629.
