חלום המתחיל (מתמטיקה)
![]() |
ערך שניתן לשפר את מקורותיו
| |
ערך שניתן לשפר את מקורותיו | |

חלום השנה הראשונה הוא כינוי לשוויון השגוי $ (x+y)^{n}=x^{n}+y^{n} $, שבו $ n $ הוא מספר ממשי (בדרך כלל שלם חיובי הגדול מ-1) ו-$ x,y $ הם מספרים ממשיים שאינם אפס. תלמידים מתחילים נוהגים לטעות בחישוב חזקה של סכום מספרים ממשיים, בהניחם בטעות כי חזקות מתפלגות על סכומים.[1][2]
החישוב הנכון של החזקה $ (x+y)^{n} $ נעשה על ידי משפט הבינום. למשל, כאשר $ n=2 $, נוסחאות הכפל המקוצר מראות שהביטוי $ (x+y)^{2} $ שווה ל-$ x^{2}+2xy+y^{2} $, ולא ל-$ x^{2}+y^{2} $.
השימוש בשם "חלום השנה הראשונה" מתייחס גם לעיתים למשפט הקובע כי עבור מספר ראשוני $ p $, אם $ x $ ו-$ y $ הם איברים מתחלפים בחוג בעל מאפיין $ p $, אז $ (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p} $. במקרה המסוים הזה, "הטעות" אכן נותנת את התוצאה הנכונה, שכן $ p $ מחלק את כל המקדמים הבינומיים מלבד הראשון והאחרון, והופך את כל האיברים האמצעיים לאפס.
דוגמאות
- $ (1+4)^{2}=5^{2}=25 $, אבל $ 1^{2}+4^{2}=17 $.
- $ {\sqrt {x^{2}+y^{2}}} $ לא שווה ל-$ {\sqrt {x^{2}}}+{\sqrt {y^{2}}}=|x|+|y| $. לדוגמה, עבור 3 ו-4, מתקיים $ {\sqrt {9+16}}={\sqrt {25}}=5 $, אבל זה לא שווה ל-3 + 4 = 7. בדוגמה זו, הטעות נעשתה עם החזקה $ n=1/2 $.
מאפיין ראשוני
כאשר $ p $ הוא מספר ראשוני ו-$ x $ ו-$ y $ הם חברים בחוג חילופי בעל מאפיין $ p $, אז $ (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p} $. ניתן להוכיח זאת באמצעות בחינת הגורמים הראשוניים של המקדמים הבינומיים:
- $ {\binom {p}{n}}={\frac {p!}{n!(p-n)!}}. $
המונה הוא $ p $ עצרת (!), שהיא מתחלקת ב-$ p $. עם זאת, כאשר $ 0<n<p $, גם $ n! $ וגם $ (p-n)! $ זרים ל-$ p $, שכן כל הגורמים קטנים מ-$ p $ ו-$ p $ הוא מספר ראשוני. מכיוון שמקדם בינומי הוא תמיד מספר שלם, המקדמים הבינומיים עבור $ n $ בין $ 1 $ ל-$ p-1 $ מתחלקים ב-$ p $ ולכן שווים ל-0 בחוג. נשארים המקדם הראשון והאחרון, ששניהם שווים ל-1, והתוצאה היא המשוואה הרצויה.
לכן, במאפיין $ p $, חלום השנה הראשונה מתקיים. תוצאה זו מראה שהעלאה בחזקת $ p $ יוצרת אנדומורפיזם, הידוע כאנדומורפיזם פרובניוס של החוג.
הערות שוליים
- ↑ Julio R. Bastida, Field Extensions and Galois Theory, Addison-Wesley Publishing Company, 1984, p.8.
- ↑ Fraleigh, John B., A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley Publishing Company, 1993, p.453, מסת"ב 0-201-53467-3.

חלום המתחיל (מתמטיקה)40201736Q4120528