חוג בזו

בתורת החוגים, חוג בזו הוא חוג קומוטטיבי $R$ המקיים את "תכונת בזו": כל אידיאל נוצר סופית הוא אידיאל ראשי. למעשה די להניח את התכונה עבור שני איברים (המקרה הסופי הכללי נובע באינדוקציה): לכל שני איברים $a,b$ בחוג, קיים איבר $d$ כך ש- $Ra+Rb=Rd$.

כל חוג רגולרי קומוטטיבי הוא חוג בזו (יתרה מזו: בכל חוג רגולרי, כל אידיאל שמאלי נוצר סופית הוא ראשי). בחוג בזו נותרי, כל אידיאל נוצר על ידי איבר אחד. המחלקה החשובה ביותר של חוגי בזו מורכבת מתחומי בזו - תחומי שלמות שכל אידיאל נוצר סופית שלהם הוא ראשי.

תכונות קרובות

פולינום מעל חוג קומוטטיבי $R$, שהוא מחלק אפס בחוג הפולינומים, הוא בעל תכולה מאפסת אם אפשר לפרק אותו כמכפלה $cf$ כאשר $c$ סקלר שהוא מחלק אפס, ו-$f$ רגולרי. חוג קומוטטיבי מקיים את תכונת EM אם לכל פולינום מחלק אפס מעליו יש תכולה מאפסת. לחוג יש תכונת Armendariz אם מהשוויון $fg=0$, כאשר $f,g$ פולינומים מעל החוג, נובע שכל מכפלות המקדמים הן אפס. כל חוג בזו הוא בעל תכונת EM, וכל חוג בעל תכונת EM הוא Armendariz.

חוגים לא קומוטטיביים

תכונת בזו ניתנת להכללה לחוגים לא קומוטטיביים. ההכללה המיידית היא לחוגים שבהם כל אידיאל שמאלי (או ימני) נוצר סופית הוא ראשי. חוג הרמיט ימני הוא חוג שמעליו כל מטריצה $1\times 2$ דומה למטריצה מהצורה $(d\ 0)$ (כלומר, יש מטריצה הפיכה $2\times 2$ המעבירה את הווקטור הנתון לצורה זו). בדומה אפשר להגדיר חוג הרמיט שמאלי. חוג הרמיט ימני ושמאלי נקרא חוג הרמיט. מעל חוג הרמיט שמאלי, כל מטריצה דומה למטריצה משולשית. הרמיטיות ימנית עוברת לחוגי מטריצות. תחום (חוג ללא מחלקי אפס) הוא חוג הרמיט אם ורק אם כל אידיאל שמאלי או ימני נוצר סופית הוא ראשי, וגם כל חיתוך של אידיאלים ראשיים (ימניים או שמאליים) הוא ראשי. חוג קומוטטיבי הוא הרמיט אם ורק אם הוא חוג בזו.

מקורות

• Irving Kaplansky, Elementary Divisors and Modules, Proc. AMS, 1949.

קישורים חיצוניים

• חוג בזו, באתר MathWorld (באנגלית)   

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

29277612חוג בזו