חבורה אמנבילית

בתורת החבורות, חבורה אמנבילית היא חבורה שעבורה אפשר להגדיר אופרטור מיצוע שהוא אינווריאנטי תחת פעולת החבורה על ידי כפל משמאל. המושג הוגדר על ידי ג'ון פון נוימן ב-1929 בהקשר של פרדוקס בנך-טרסקי תחת השם הגרמני messbar ("מדיד"), וקיבל את שמו האנגלי ב-1949.

אמנביליות של חבורה בדידה

חבורה בדידה (נטולת מבנה טופולוגי) היא אמנבילית אם אפשר להגדיר עליה מידת הסתברות אדיטיבית, שהיא אינווריאנטית לכפל משמאל. (המידה אינה מוכרחה להיות סיגמא-אדיטיבית). קיומה של מידה מאפשר להגדיר אינטרגל לבג של פונקציות חסומות על החבורה.

חבורה בדידה בת מניה היא אמנבילית אם ורק אם:

• יש סדרת וקטורי יחידה $x_{n}\in \ell ^{2}(G)$ כך ש-$||gx_{n}-x_{n}||\rightarrow 0$ לכל $g\in G$ (תנאי דיסמייר);
• יש סדרה של תת-קבוצות סופיות $F_{n}\subset G$ כך ש-$|gS_{n}\Delta S_{n}|/|S_{n}|\rightarrow 0$ לכל $g\in G$ (תנאי פלנר);

יש גם תנאים שקולים רבים אחרים.

כל חבורה סופית היא אמנבילית. כל חבורה אבלית היא אמנבילית. אוסף החבורות האמנביליות סגור למעבר לתת-חבורה סגורה, למעבר לחבורת מנה, להרחבות, לגבולות ישרים. בפרט, חבורה שהיא אמנבילית מקומית היא אמנבילית; וכל חבורה פתירה היא אמנבילית.

אמנביליות של חבורה קומפקטית מקומית

חבורה קומפקטית מקומית היא אמנבילית אם יש לה פונקציית מיצוע אינווריאנטית משמאל. פונקציית מיצוע היא אופרטור אדיטיבי $\Lambda \,:\,L^{\infty }(G)\rightarrow \mathbb {R}$, שהוא חיובי על פונקציות חיוביות כמעט בכל מקום, ואינווריאנטי משמאל (כלומר $\Lambda (gf)=\Lambda (f)$ כאשר $(gf)(x)=f(xg^{-1})$). כאן $L^{\infty }(G)$ הוא מרחב הפונקציות החסומות-עקרונית ביחס למידת האר.

לדוגמה, החבורה הציקלית האינסופית (עם הטופולוגיה הבדידה) היא קומפקטית מקומית. פונקציית המיצוע מוגדרת על פונקציות שיש להן גבולות שווים באינסוף ובמינוס אינסוף בתור הגבול הזה, ומומשכת אל מרחב הפונקציות החסומות בעזרת משפט האן-בנך.

אמנביליות אלמנטרית

החבורות השייכות לאוסף החבורות הנוצר על ידי החבורות הסופיות והאבליות על ידי פעולות של מעבר לתת-חבורה, לחבורת מנה, להרחבות ולגבולות ישרים, נקראות אמנביליות-אלמנטרית. כל חבורה אמנבילית אלמנטרית היא אמנבילית. חבורות בעלות גידול ביניים (יותר מכל פולינום ופחות מגידול מעריכי), כמו חבורת גריגורצ'וק, הן אמנביליות (כי אוסף הכדורים שמרכזם בראשית מהווה סדרת פלנר), אבל לא אמנביליות-אלמנטרית. חבורות פשוטות נוצרות סופית אינן יכולות להיות אמנביליות-אלמנטרית (ידוע שיש חבורות אמנביליות כאלה).

אי-אמנביליות

חבורה המכילה חבורה חופשית לא אבלית, אינה יכולה להיות אמנבילית. השערת פון נוימן סברה שזוהי ההפרעה היחידה, כלומר שכל חבורה שאינה מכילה תת-חבורה חופשית היא אמנבילית. השערה זו הופרכה על ידי אולשנסקי (באמצעות Tarski monsters) וגרומוב ב-1980. גם חבורות ברנסייד האינסופיות אינן אמנביליות (Adyan). ב-2002 בנו אולשנסקי וספיר חבורה לא אמנבילית מוצגת סופית.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

חבורה אמנבילית40406907Q1857002