זמן עצירה

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

בתורת ההסתברות ובפרט בתהליכים מקריים, זמן עצירה או כלל עצירה הוא משתנה מקרי המשויך לתהליך מקרי נתון, שערכו בכל שלב בתהליך נקבע אך ורק לפי ההיסטוריה של התהליך ולא לפי העתיד.

הסיבה לשימוש במונח "זמן עצירה", היא שמשתנים מקריים מסוג זה לרוב מתארים מכניזם של הכרעה מתי לעצור תהליך מקרי בהסתמך על מידע נתון. כך למשל מהמר בקזינו המבצע סדרה של הימורים, יכול להחליט מראש על כלל לפיו הוא יפרוש מהמשחק בפעם הראשונה שהרווח שלו יגיע לסכום מסוים. בכל שלב בהימור, השאלה האם לפרוש מהמשחק או לא היא משתנה מקרי המהווה "זמן עצירה", שכן השאלה כמה הרווח עד עתה לא דורשת כל מידע מהעתיד אלא נקבעת בהתאם למידע שבידי המהמר כעת.

הגדרה

גרסה ראשונה: יהי $X_{1},X_{2},X_{3},\dots$ תהליך מקרי במרחב מדיד $\left(X,{\mathcal {F}}\right)$ . אומרים כי משתנה מקרי $\tau :\Omega \to \mathbb {N} \cup \left\{\infty \right\}$ הוא "זמן עצירה", אם לכל $n\in \mathbb {N}$ מתקיים כי המאורע $\left\{\omega \in \Omega \mid \tau \left(\omega \right)=n\right\}$ תלוי אך ורק במשתנים המקריים $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ .

משמעות ההגדרה היא שהשאלה האם $\tau =n$ , כלומר השאלה האם לעצור בשלב ה- $n$ , נקבעת לא יאוחר מהשלב ה- $n$ .

גרסה מוכללת: תהי ${\mathcal {F}}_{1}\subset {\mathcal {F}}_{2}\subset {\mathcal {F}}_{3}\subset \dots$ סדרה של סיגמא-אלגבראות במרחב מדיד $\left(X,{\mathcal {F}}\right)$ . אומרים כי משתנה מקרי $\tau :\Omega \to \mathbb {N} \cup \left\{\infty \right\}$ הוא "זמן עצירה", אם לכל $n\in \mathbb {N}$ המאורע $\left\{\omega \in \Omega \mid \tau \left(\omega \right)=n\right\}$ היא מדידה ביחס לסיגמא-אלגברה ${\mathcal {F}}_{n}$ .

הגרסה הראשונה מתקבלת מהגרסה המוכללת על ידי בחירת סדרת הסיגמא-אלגבראות להיות ${\mathcal {F}}_{n}=\sigma \left(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right)$ , כלומר, בוחרים את ${\mathcal {F}}_{n}$ להיות הסיגמא-אלגברה המינימלית שעבורה $X_{n}$ מדיד.

באופן כמעט זהה ניתן להגדיר זמן עצירה גם עבור תהליך מקרי רציף, או משפחת סיגמא-אלגבראות רציפה.

תכונות

אם $\tau _{1},\tau _{2}:\Omega \to \mathbb {N} \cup \left\{\infty \right\}$ הם שני זמני עצירה, אזי גם המשתנים המקריים $\max \left\{\tau _{1},\tau _{2}\right\},\min \left\{\tau _{1},\tau _{2}\right\},\tau _{1}+\tau _{2}$ הם זמני עצירה.

אולם, חשוב לא להתבלבל, המשתנים המקריים $\tau _{1}-\tau _{2},\tau _{1}\cdot \tau _{2}$ אינם בהכרח זמן עצירה, שכן הם עלולים להיות תלויים בשלבים הבאים בתהליך.

דוגמאות

נתבונן בתנועה בראונית $\left(B_{t}\right)_{t\geq 0}$ מעל מרחב הסתברות $\left(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right)$ .

נגדיר משפחת סיגמא-אלגבראות $\left({\mathcal {F}}_{t}\right)_{t\geq 0}$ להיות הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי כל הקבוצות מהצורה $B_{s}^{-1}\left(A\right)$ עבור כל $0\leq s\leq t$ ועבור כל $A\subset \mathbb {R}$ קבוצת בורל. באופן אינטואיטיבי, $E\in {\mathcal {F}}_{t}$ אם ורק אם הוא נקבע על ידי $\left(B_{s}\right)_{0\leq s\leq t}$ .

המשתנה המקרי $\tau =\inf \left\{t\geq 1\mid B_{t}>c\right\}$ לאיזה קבוע $c\in \mathbb {R}$ , הוא זמן עצירה. כלל עצירה זה אומר במילים פשוטות "עצור בפעם הראשונה שהתנועה הבראונית תהיה גדולה מ- $c$ ".

המשתנה המקרי $\tau =\inf \left\{t\geq 0\mid B_{t}=2\cdot B_{0}\right\}$ הוא אינו זמן עצירה. כלל עצירה זה אומר במילים פשוטות "עצור בפעם הראשונה שהתנועה הבראונית תהיה כפולה מנקודת ההתחלה שלה". הסיבה לכך שזה אינו זמן עצירה, היא שהמאורע $B_{t}=2\cdot B_{0}$ הוא בעל הסתברות חיובית לא להתרחש לעולם.