השערת אוילר

בתורת המספרים, המונח השערת אוילר מתייחס להכללה שהציע לאונרד אוילר עבור המשפט האחרון של פרמה. פרמה טען שאם $\ 2<n$, אז סכומן של שתי חזקות n-יות (של מספרים שלמים שאינם אפס) לעולם אינו יכול להיות חזקה n-ית. על כך כתב אוילר:

• "גאומטריקנים רבים סבורים שניתן להכליל את <טענתו של פרמה>. בדיוק כפי שאין שתי קוביות שסכומן או הפרשן הוא קובייה, ברור שלא ניתן להציג שלוש חזקות רביעיות שסכומן הוא חזקה רביעית, ושלפחות ארבע חזקות רביעיות דרושות כדי שסכומן יהיה חזקה רביעית (גם אם דוגמה כזו טרם ניתנה). באופן דומה, נראה שלא ניתן להציג ארבע חזקות חמישיות שסכומן הוא חזקה חמישית, וכך הלאה".

אוילר ידע, מן הסתם, שפרנסואה וייט מצא ב-1591 אינסוף פתרונות למשוואה $\ a^{3}+b^{3}+c^{3}=d^{3}$. עם זאת, להשערה לא ניתנה כל ראיה, והיא נותרה לא מוכרעת, עד שנת 1966. בשנת 1911 מצא R. Norrie את הדוגמה שאוילר חיפש, ובה ארבע חזקות רביעיות המצטרפות לחזקה רביעית: $\ 30^{4}+120^{4}+272^{4}+315^{4}=353^{4}$. רק ב-1966 נמצאה, בעזרת מחשב, דוגמה נגדית להשערה, בארבע חזקות חמישיות: $\ 27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}$.

ב-1988‏ הראה נועם אלקיס (בעקבות עבודה של Demjanenko מ-1973), איך אפשר לבצע פרמטריזציה של המשוואה $\ x^{4}+y^{4}+z^{4}=1$ כמשפחה של עקומים אליפטיים, והראה שמשפחה זו ישנם אינסוף עקומים בעלי דרגה חיובית; את הנקודות הרציונליות על עקום כזה אפשר לתרגם לפתרון בשלמים של המשוואה $\ A^{4}+B^{4}+C^{4}=D^{4}$. ניתוח זה אפשר לאלקיס למצוא את השוויון $\ 2682440^{4}+15365639^{4}+18796760^{4}=20615673^{4}$. חיפוש ממוחשב שאלקיס הנחה גילה באותו זמן גם את הפתרון הקטן ביותר: $\ 95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}$.

כהכללה נוספת של השערת אוילר, הוצע שלמשוואה $\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}$ אין פתרון כאשר $\ m+n\leq k$.

לקריאה נוספת

• השערת אוילר.
• לוח זמנים של השערת אוילר ובעיות דומות.