פונקציות טריגונומטריות הפוכות
(הופנה מהדף הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות)
בערך זה |
במתמטיקה, הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות הן פונקציות המתקבלות על ידי הפיכת הפונקציות הטריגונומטריות היסודיות.
הפונקציות הטריגונומטריות אינן חד-חד ערכיות בתחום הגדרתן, לכן יש לצמצם את תחומן כדי להגדיר את הפונקציות ההפוכות.
תכונות יסודיות
| $ \arcsin(x)\, $ | $ \arccos(x)\, $ | |
|---|---|---|
| הפונקציה ההפיכה של | $ \ \sin(x) $ (סינוס) |
$ \cos(x)\, $ (קוסינוס) |
| דרך נוספת לרשום את הפונקציה | $ \ \sin ^{-1}(x) $ | $ \cos ^{-1}(x)\, $ |
| תחום הגדרה | $ -1\leq x\leq 1 $ | $ -1\leq x\leq 1 $ |
| תמונה | $ -{\frac {\pi }{2}}\leq f(x)\leq +{\frac {\pi }{2}} $ | $ 0\leq f(x)\leq \pi $ |
| הכללה לכל הישר הממשי | sin y = x אם ורק אם y = arcsin x + 2kπ
או y = π − arcsin x + 2kπ עבור שלם k כלשהו. |
cos y = x אם ורק אם y = arccos x + 2kπ
או y = 2π − arccos x + 2kπ עבור שלם k כלשהו. |
| מונוטוניות | מונוטונית עולה ממש | מונוטונית יורדת ממש |
| סימטריה | פונקציה אי-זוגית: $ \arcsin(-x)=-\arcsin(x)\! $ | $ \arccos(x)=\pi -\arccos(-x)\! $ |
| אסימפטוטות | אין | אין |
| שורשים | $ x=0\! $ | $ x=1\! $ |
| קיצון מקומי | Minimum $ \left(-1|-{\frac {\pi }{2}}\right) $ Maximum $ \left(1|{\frac {\pi }{2}}\right) $ |
Minimum $ \left(1|0\right) $ Maximum $ \left(-1|\pi \right) $ |
| גרף | 
|
|
| למידע נוסף | Arcsine, באתר MathWorld (באנגלית) | Arccosine, באתר MathWorld (באנגלית) |
| $ \arctan(x)\, $ | $ \operatorname {arccot}(x)\, $ | |
|---|---|---|
| הפונקציה ההפיכה של | $ \tan(x)\, $ (טנגנס) |
$ \cot(x)\, $ (קוטנגנס) |
| דרך נוספת לרשום את הפונקציה | $ \ \tan ^{-1}(x) $ | $ \cot ^{-1}(x)\, $ |
| תחום הגדרה | $ -\infty <x<\infty $ | $ -\infty <x<\infty $ |
| תמונה | $ -{\frac {\pi }{2}}<f(x)<{\frac {\pi }{2}} $ | $ 0<f(x)<\pi \, $ |
| הכללה לכל הישר הממשי | tan y = x אם ורק אם y = arctan x + kπ עבור שלם k כלשהו. | cot y = x אם ורק אם y = arccot x + kπ עבור שלם k כלשהו. |
| מונוטוניות | מונוטונית עולה ממש | מונוטונית יורדת ממש |
| סימטריה | פונקציה אי-זוגית: $ \arctan(-x)=-\arctan(x)\, $ | $ \operatorname {arccot}(x)=\pi -\operatorname {arccot}(-x)\, $ |
| אסימפטוטות | $ f(x)\to \pm {\frac {\pi }{2}} $ כאשר $ x\to \pm \infty $ | $ f(x)\to \pi $ כאשר $ x\to -\infty $ $ f(x)\to 0 $ כאשר $ x\to +\infty $ |
| שורשים | $ x=0 $ | אין |
| קיצון מקומי | אין | אין |
| גרף | 
|
|
| למידע נוסף | Arctangent, באתר MathWorld (באנגלית) | Arccotangent, באתר MathWorld (באנגלית) |
| $ \operatorname {arcsec}(x)\, $ | $ \operatorname {arccsc}(x)\, $ | |
|---|---|---|
| הפונקציה ההפיכה של | $ \sec(x)\, $ | $ \csc(x)\, $ |
| דרך נוספת לרשום את הפונקציה | $ \ \sec ^{-1}(x) $ | $ \csc ^{-1}(x)\, $ |
| תחום הגדרה | $ -\infty <x\leq -1\,,\,1\leq x<+\infty $ | $ -\infty <x\leq -1\,,\,1\leq x<+\infty $ |
| תמונה | $ 0\leq f(x)<{\frac {\pi }{2}}\,,\,{\frac {\pi }{2}}<f(x)\leq \pi $ | $ -{\frac {\pi }{2}}\leq f(x)<0\,,\,0<f(x)\leq {\frac {\pi }{2}} $ |
| הכללה לכל הישר הממשי | sec y = x אם ורק אם y = arcsec x + 2kπ
או y = 2π − arcsec x + 2kπ עבור שלם k כלשהו. |
csc y = x אם ורק אם y = arccsc x + 2kπ
או y = π − arccsc x + 2kπ עבור שלם k כלשהו. |
| מונוטוניות | בכל אחד ממרכיבי תחום ההגדרה הפונקציה עולה ממש | בכל אחד ממרכיבי תחום ההגדרה הפונקציה יורדת ממש |
| סימטריה | $ \operatorname {arcsec} \,(x)=\pi -\operatorname {arcsec} \,(-x) $ | פונקציה אי-זוגית: $ \operatorname {arccsc} \,(x)=-\operatorname {arccsc} \,(-x) $ |
| אסימפטוטות | $ f(x)\to {\frac {\pi }{2}} $ כאשר $ x\to \pm \infty $ | $ f(x)\to 0 $ כאשר $ x\to \pm \infty $ |
| שורשים | $ x=1\!\, $ | אין |
| קיצון מקומי | Minimum $ \left(1|0\right) $ Maximum $ \left(-1|\pi \right) $ |
Minimum $ \left(-1|-{\frac {\pi }{2}}\right) $ Maximum $ \left(1|{\frac {\pi }{2}}\right) $ |
| גרף | 
|
|
| למידע נוסף | Arcsecant, באתר MathWorld (באנגלית) | Arccosecant, באתר MathWorld (באנגלית) |
קישורים חיצוניים
- פונקציות טריגונומטריות הפוכות, באתר MathWorld (באנגלית)
פונקציות טריגונומטריות הפוכות26545009