המכפלה האינסופית של ויאטה

נוסחת ויאטה היא המכפלה האינסופית הבאה של רדיקלים מעורבים לחישוב הקבוע המתמטי פאי:

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots .$.

כלומר זוהי מכפלה אינסופית מהצורה: הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{a_{i} \over 2}={\frac {2}{\pi }}} , כאשר איברה הכללי $a_{n}$ של המכפלה מקיים את כלל הנסיגה: $a_{n+1}={\sqrt {2+a_{n}}}$.

המכפלה האינסופית של ויאטה, כפי שהופיעה ב-rebus mathematicis esponsorum, liber VIII משנת 1593

היא נקראת על שם פרנסואה וייט (1540 - 1603), אשר פרסם אותה ב-1593 בעבודתו Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII.

חשיבות

בתקופה בה ויאטה פרסם את נוסחתו, שיטות לקירוב פאי בדיוק שרירותי היו ידועות מזה זמן רב. שיטתו של ויאטה ניתנת לפרשנות כווריאציה על הרעיון של ארכימדס לקרב את השטח של מעגל על ידי מצולע משוכלל חסום ומצולע משוכלל חוסם, אשר ארכימדס עשה בו שימוש למצוא את הקירוב:

הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {223}{71}}<\pi <{\frac {22}{7}}.} .

אף על פי כן, בכך שפרסם את השיטה שלו כנוסחה מתמטית, ויאטה ניסח את ההופעה הראשונה של מכפלה אינסופית במתמטיקה, והדוגמה הראשונה של נוסחה מפורשת לחישוב הערך המדויק של פאי. כנוסחה הראשונה המייצגת מספר כתוצאה של תהליך אינסופי מאשר כפלט של חישוב סופי, נוסחת ויאטה נתפסת במובן מסוים כתחילתה של האנליזה המתמטית, ובהקשר רחב יותר אף נחשבת "כשחר המתמטיקה המודרנית".

באמצעות הנוסחה שלו, וייט חישב את π בדיוק של 9 ספרות עשרוניות אחרי הנקודה. אף על פי כן, זהו לא היה הקירוב המדויק ביותר ל-π הידוע באותו זמן, שכן המתמטיקאי הפרסי אל-קאשי (Jamshīd al-Kāshī) חישב את π בדיוק של 9 ספרות סקסגסימליות ב-1424 (16 ספרות עשרוניות אחרי הנקודה). לא הרבה זמן אחרי שוייט פרסם את הנוסחה שלו, לודולף ואן קואלן השתמש בשיטה קרובה כדי לחשב את π בדיוק של 35 ספרות.

גזירת הנוסחה

סדרה של מצולעים משוכללים עם מספר צלעות השווה לחזקה של שתיים, חסומים במעגל. היחס בין השטחים של מצולעים עוקבים נותנים את האיברים בנוסחת ויאטה.

ויאטה גזר את הנוסחה שלו באמצעות השוואת השטחים של מצולעים משוכללים עם $2^{n}$ ו-$2^{n+1}$ צלעות החסומים במעגל יחידה. האיבר הראשון במכפלה, ${\tfrac {\sqrt {2}}{2}}$, הוא יחס השטחים של הריבוע והמתומן, האיבר השני הוא יחס השטחים של המתומן וההקסדקגון, וכו'. לפיכך, המכפלה של האיברים מתנהגת בצורה טלסקופית ונותנת את יחס השטחים של הריבוע (המצולע ההתחלתי בסדרה) והמעגל (הגבול של מצולע משוכלל בעל אינסוף צלעות). שטח הריבוע הוא 2 ושטח המעגל הוא $\pi$ על כן תוצאת המכפלה היא ${\frac {2}{\pi }}$. כדי להוכיח שיחסי השטחים אכן מתנהגים כמו האיברים הכללים של המכפלה נחשב את השטח הכללי של מצולע בעל $2^{n}$ צלעות ונעזר בזהות: $\cos {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}$.

מתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_{2^n} = 2^n cos (\frac {\pi} {2^n})sin (\frac {\pi} {2^n})}

אם נצמצם ונשתמש בזהות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin x = 2sin (x/2) cos(x/2)} נקבל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {S_{2^n}}{S_{2^{n+1}}} = cos (\frac {\pi}{2^n})} .

כלומר נותר להוכיח שאם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n = 2cos (\frac {\pi}{2^n})} אזי : הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{n+1} = \sqrt {{2 + a_n}}} . אם נציב $a_{n}=2cos({\frac {\pi }{2^{n}}})$ בכלל הנסיגה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{n+1} = \sqrt {{2 + a_n}}} נקבל בדיוק את הזהות הטריגונומטרית לקוסינוס של חצי זווית: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}} , ובכך נשלמה ההוכחה.

התכנסות

כל דיון על חישוב ערכו של קבוע מתמטי מסוים באמצעות טור או מכפלה אינסופית הוא עקר מיסודו אם לא מתייחסים לקצב ההתכנסות של ההצגה, אשר מכתיב כמה איברים בפיתוח יש לחשב כדי להגיע לדיוק מסוים. וייט עשה את עבודתו על חישוב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} מאות שנים לפני שהמושגים של גבולות והוכחות ריגורוזיות של התכנסות פותחו, ובדיון כאן ננסה לרדת לליבת הדברים האלה.

חישוב קצב ההתכנסות

נביט במכפלה האינסופית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \prod_{i=1}^n {a_i \over 2}=\frac2\pi} . האיבר הכללי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n} שואף מלמטה ל-2, ונסמן ב-$\epsilon _{n}$ את ההפרש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2 - a_n} . אסימפטוטית, כלומר כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon_n} קטן מאוד, מתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{n+1} = \sqrt {{2 + a_n}} = \sqrt {{4 - \epsilon_n}} = 2 - \frac {\epsilon_n}{2\sqrt {{4}}} = 2 - \epsilon_n/4} . כלומר מתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon_{n + 1} = \epsilon_{n}/4 } .

באופן דומה נסמן ב-$L_{n}$ את תוצאת המכפלה לאחר n איברים, ב-L את גבול המכפלה האינסופית, וב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_n} את השגיאה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L - L_n } . מתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_n - L_{n - 1} = L_{n - 1}\epsilon_n/2 } וכן: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_{n + 1} - L_n = L_{n}\epsilon_{n + 1}/2 = L_n\epsilon_n/8 } . נחלק את שני ההפרשים זה בזה תוך הנחה שאסימפטוטית, $L_{n}/L_{n-1}\approx 1$ על כן: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {L_{n + 1} - L_n}{L_n - L_{n - 1}} = 1/4} . אולם: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_{n + 1} - L_n = \delta_{n + 1} - \delta_n} , כלומר קיבלנו, שהפרשי שגיאות עוקבות יורדים מעריכית, על כן גם השגיאות יורדות מעריכית - בכל הכפלה פי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{4}} . מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle log_{10} (\frac{1}{4})\approx -0.6} , על כן לאחר n איברים נקבל 0.6n ספרות (אסימפטוטית).

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

29320537המכפלה האינסופית של ויאטה