דילמת הסועדים

בתורת המשחקים, דילמת הסועדים היא הכללה של דילמת האסיר למקרה הכללי של n שחקנים. מספר סועדים יוצאים למסעדה, כאשר הם מסכימים מראש לחלק את החשבון באופן שווה בין כולם. כל סועד בוחר האם להזמין את המנה הזולה יותר או היקרה יותר (אפשר להניח שהמנה היקרה יותר בהכרח טעימה יותר אבל לא מצדיקה שהסועד ישלם את המחיר המלא שלה). כל סועד מניח שכאשר הוא בוחר במנה היקרה, המחיר לכל סועד יגדל בחלק קטן ולכן מוצדק מבחינתו להזמין את המנה היקרה ובכך לשפר את חווית הסעודה שלו. מכיוון שכל סועד מניח כך, התוצאה היא שכולם משלמים את העלות המלאה של המנה היקרה. לפי הגדרת הבעיה זו תוצאה גרועה יותר לכולם מאשר התוצאה כאשר כל אחד מזמין מאכל זול.

הגדרה פורמלית

נגדיר את g כערך ההנאה מהמנה היקרה ואת b כערך ההנאה מהמנה הזולה. מחיר המנה היקרה הוא h ומחיר המנה הזולה הוא l. כאמור, n הוא מספר הסועדים. מההגדרות ומהתיאור הנ"ל מתקבל יחס הסדר הבא:$h>g>b>l$. כדי להתאים את הדילמה לדילמת האסיר אנו מניחים שסועד מסוים מעדיף להזמין את המנה היקרה בתנאי שהוא יודע שהמחיר מתחלק בין שאר הסועדים $g-{\frac {1}{n}}h>b-{\frac {1}{n}}l$.

נתבונן באסטרטגיות של ה'סועדים היריבים'. נגדיר את x כסכום מחירי המנות של שאר הסועדים. המחיר של הזמנת המנה הזולה הוא ${\frac {1}{n}}x+{\frac {1}{n}}l$ ומחיר המנה היקרה הוא ${\frac {1}{n}}x+{\frac {1}{n}}h$. התועלות המתקבלות לכל מנה הן: $g-{\frac {1}{n}}x-{\frac {1}{n}}h$ עבור המנה היקרה ו $b-{\frac {1}{n}}x-{\frac {1}{n}}l$ עבור המנה הזולה. לפי ההנחה, התועלת של המנה היקרה היא בהכרח גבוהה יותר. נשים לב שבחירת המנות על ידי הסועדים האחרים היא שרירותית והמשחק הוא סימטרי. מכאן מתקבל שהמנה היקרה היא אסטרטגיה שלטת ולכן מובטח לנו שיווי משקל נאש יחיד.

אם כל הסועדים מזמינים את המנה היקרה אז כל הסועדים משלמים h בסוף הסעודה והתועלת המתקבלת היא $g-h<0$. מצד שני, אם כל הסועדים היו מזמינים את המנה הזולה אז התועלת שלהם הייתה $b-l>0$. זהו הדמיון בין דילמת הסועדים לדילמת האסיר. גם בדילמה זו, כולם מפסידים כאשר הם משחקים את האסטרטגיה האינדיבידואלית.

ראו גם

• הטרגדיה של נחלת הכלל
• בעיית הטרמפיסט