דיאגרמת סמית

דיאגרמת סמית עבור אימפדנסים, ללא סימונים

דיאגרמת סמית היא כלי עזר גרפי המשמש בהנדסת חשמל לפתרון בעיות הנוגעות לקווי תמסורת ותיאום אימפדנסים. הדיאגרמה הומצאה בידי פיליפ ה. סמית ב-1939 עת שעבד במעבדות בל. הדיאגרמה היא כלי שימושי ונפוץ עד היום, על אף שכיום תוכנת מחשב יכולה לבצע את אותן המטלות בקלות. שימוש בדיאגרמה זו נלמד במהלך הכשרה אקדמאית של מהנדס חשמל, כיוון שקיימת חשיבות רבה לאינטואיציה שהוא מפתח ולדרך החשיבה על בעיות תמסורת במונחים של דיאגרמת סמית. דיאגרמת סמית מקשרת בין גדלים שונים, כגון: עכבה חשמלית, אדמיטנס (מתירות), מקדם החזרה, יחס גלים עומדים (SWR) ועוד.

סקירה

דיאגרמת סמית היא שרטוט במישור המרוכב של מקדם ההחזרה $\Gamma$, כאשר הציר האופקי מתאר את הרכיב הממשי של מקדם ההחזרה והציר האנכי את הרכיב המרוכב שלו. הגדלים הרלוונטיים עבור הדיאגרמה בדרך כלל מנורמלים לפי גודל אופייני של המערכת, למשל לפי האימפדנס של קו התמסורת: ${\bar {z}}={\frac {Z(z)}{Z_{0}}}$, כאשר $Z(z)$ האימפדנס בנקודה $z$, $Z_{0}$ האימפדנס של קו התמסורת ו-${\bar {z}}$ האימפדנס המנורמל. באופן זה ניתן באמצעות כפל פשוט לעבור מהגודל שמציגה הדיאגרמה לגודל הרלוונטי עבור המערכת. מקדם ההחזרה $\Gamma$ אינו מנורמל מכיוון שהוא גודל מרוכב חסר יחידות שמקיים $|\Gamma |<1$.

הסימונים ההיקפיים בקצוות הדיאגרמה הם סקלות של זוויות ושל אורך גל. הזווית מייצגת את הפאזה של מקדם ההחזרה. השימוש העיקרי של סקלת אורך הגל הוא בפתרון בעיות במערכות מפולגות. זהו המרחק הנמדד על קו התמסורת לכיוון המקור או לכיוון העומס, ביחידות של אורך הגל הרלוונטי לבעיה $\lambda$ (סיבוב שלם מייצג תנועה של חצי אורך גל על קו התמסורת). הליכה על הציר ההיקפי עם כיוון השעון מסמנת בדיקה של המרחק לכיוון המקור, והליכה נגד כיוון השעון מסמנת בדיקה של המרחק לכיוון העומס.

מכיוון שהאימפדנסים והאדמיטנסים תלויים בתדירות של הגל האלקטרומגנטי, ניתן להשתמש בדיאגרמת סמית בשביל לפתור עבור תדירות אחת בכל פעם. עבור יישומים קצרי סרט פתרון זה מספיק בשביל לספק את המטרות לרוב חבילת הגלים, אולם ביישומים עם סרט רחב נוצר צורך לפתור עבור מספר תדרים ולאחר מכן לחבר את התוצאות, דבר אשר מפחית את הדיוק של הפתרון.

רקע מתמטי

דוגמה לקריאה של דיאגרמת סמית. גל מתקדם לאורך קו תמסורת בעל אימפדנס אופייני $Z_{0}$, אשר בסופו עומס בעל אימפדנס $Z_{L}$, כאשר האימפדנס המנורמל הוא $z=Z_{L}/Z_{0}$. הגל מוחזר עם מקדם החזרה $\Gamma$, וכל נקודה על הדיאגרמה מייצגת בעת ובעונה אחת גם את הערך של $\Gamma$ (השרטוט מצד ימין למטה) וגם את ערכו של $z$ באמצעות הקשר $z={\frac {1+\Gamma }{1-\Gamma }}$.

הגדרות והנחות

קו תמסורת מורכב לרוב משני מוליכים המחוברים בכל קצה להדקים, וביניהם חומר דיאלקטרי. בתוך קו התמסורת מתקיימת משוואת הגלים עבור השדה החשמלי ועבור השדה המגנטי, ולכן קיים עבורו פתרון של גל נסוג וגל מתקדם. האופן המולך הינו אופן בעל קיטוב TEM, וניתן לתת למתח ולזרם פתרון בצורה של גל נסוג וגל מתקדם:

$V(z)=V_{+}e^{-jkz}+V_{-}e^{jkz}$

$I(z)={\frac {V_{+}}{Z_{0}}}e^{-jkz}-{\frac {V_{-}}{Z_{0}}}e^{jkz}$

מידע נוסף על פיתוח זה ניתן לקרוא תחת משוואות הטלגרפיה.

עבור האימפדנס האופייני $Z_{0}$ והאדמיטנס האופייני $Y_{0}={\frac {1}{Z_{0}}}$, ניתן להגדיר לכל אימפדנס $Z(z)$ ואדמיטנס $Y(z)$ במערכת גודל מנורמל:

${\bar {z}}={\frac {Z}{Z_{0}}},{\bar {y}}={\frac {Y}{Y_{0}}}$

מקדם ההחזרה מוגדר בתור היחס בין הגל הנסוג לגל המתקדם. נגדיר כי העומס נמצא בנקודה $z=0$, ואז מקדם ההחזרה של העומס יהיה:

$\Gamma (z=0)\equiv \Gamma _{L}={\frac {V_{-}e^{jk\cdot 0}}{V_{+}e^{-jk\cdot 0}}}={\frac {V_{-}}{V_{+}}}$

כך ניתן להגדיר באמצעות הגודל $\Gamma _{L}$ את מקדם ההחזרה לכל $z$ עד כדי הבדל פאזה:

$\Gamma (z)={\frac {V_{-}e^{jkz}}{V_{+}e^{-jkz}}}=\Gamma _{L}e^{2jkz}$

עבור גל מתקיים $k={\frac {2\pi }{\lambda }}$, כך שעם תלות באורך הגל מתקבל $\Gamma (z)=\Gamma _{L}e^{j{\frac {4\pi }{\lambda }}z}$, גודל בעל מחזוריות של ${\frac {\lambda }{2}}$.

האימפדנס מוגדר בתור היחס בין המתח לזרם, כלומר: $Z(z)\equiv {\frac {V(z)}{I(z)}}$. באמצעות הביטויים למתח ולזרם, הגדלים שמצאנו לעיל נותנים לנו ביטוי לאימפדנס בכל נקודה כתלות במקדם ההחזרה בנקודה זו:

$Z(z)={\frac {V(z)}{I(z}}={\frac {V_{+}e^{-jkz}+V_{-}e^{jkz}}{{\frac {V_{+}}{Z_{0}}}e^{-jkz}-{\frac {V_{-}}{Z_{0}}}e^{jkz}}}=Z_{0}{\frac {V_{+}(e^{-jkz}+\Gamma _{L}e^{jkz})}{V_{+}(e^{-jkz}-\Gamma _{L}-e^{jkz})}}=Z_{0}{\frac {1+\Gamma (z)}{1-\Gamma (z)}}$

או באמצעות אימפדנס מנורמל: ${\bar {z}}={\frac {1+\Gamma (z)}{1-\Gamma (z)}}$. למעשה, ${\bar {z}}$ ו-$\Gamma (z)$ קשורות באמצעות העתקת מוביוס.

בשימוש בדיאגרמת סמית מניחים כי אין איבודים בתוך קו התמסורת, כלומר $k$ גודל ממשי.

דיאגרמת סמית עבור אימפדנסים

ניתן לכתוב את מקדם ההחזרה בצורה: $\Gamma (z)=\Gamma _{L}e^{2jkz}=\Gamma _{r}(z)+j\Gamma _{i}(z)$, ובאופן דומה את האימפנדס המנורמל בתור: ${\bar {z}}=z_{r}(z)+jz_{i}(z)$. כך מהביטוי שלעיל עבור ${\bar {z}}$ מתקבל:

$z_{r}+jz_{i}={\frac {1+\Gamma _{r}+j\Gamma _{i}}{1-\Gamma _{r}-j\Gamma _{i}}}$

אפשר מהשוואת חלק מדומה וחלק ממשי לפתור ולקבל שתי משפחות של מעגלים:

$\left(\Gamma _{r}-{\frac {z_{r}}{1+z_{r}}}\right)^{2}+\Gamma _{i}^{2}=\left({\frac {1}{1+z_{r}}}\right)^{2}$

$\left(\Gamma _{r}-1\right)^{2}+\left(\Gamma _{i}-{\frac {1}{z_{i}}}\right)^{2}=\left({\frac {1}{z_{i}}}\right)^{2}$

התוצאה המתקבלת היא ש-$z_{r}$, החלק הממשי של האימפדס המנורמל, נמצא על מעגל בעל רדיוס ${\frac {1}{z_{r}+1}}$ שמרכזו בנקודה $\left(\Gamma _{r}={\frac {z_{r}}{z_{r}+1}},\Gamma _{i}=0\right)$, בעוד $z_{i}$, החלק המדומה של האימפדנס המנורמל, נמצא על מעגל ברדיוס ${\frac {1}{|z_{i}|}}$ שמרכזו בנקודה $\left(\Gamma _{r}=1,\Gamma _{i}={\frac {1}{z_{i}}}\right)$. דוגמאות למעגלים כאלה ניתן לראות בדיאגרמה שלעיל.

החצי העליון של המישור מייצג חלק מדומה חיובי, כלומר התנהגות השראותית, והחלק התחתון של המישור מייצג חלק מדומה שלילי, כלומר התנהגות קיבולית.

דוגמאות עיקריות

להלן כמה מקרים חשובים:

• עבור נתק (מעגל פתוח), $z\to \infty$. עבור הרכיב הממשי מתקבל מעגל ברדיוס 0 (נקודה) שמרכזו ב-$(1,0)$. זהו מצב של החזרה מלאה, ואכן מתקבל בהתאם $\Gamma =1$.
• עבור קצר, $z=0$. הנקודה המתאימה תהיה החיתוך בין המעגל שמייצג חלק ממשי 0 לבין זה שמייצג חלק מרוכב 0 (מקרה עבורו המיפוי הוא לקו ישר). חיתוך זה מתקבל בנקודה $\Gamma =-1$, כצפוי עבור קצר.

המעבר לדיאגרמה של אדמיטנסים

דיאגרמת סמית עבור אדמיטנסים בנויה באופן דומה לזו של האימפדנסים. האדמיטנס המנורמל הוא ההופכי של האימפדנס המנורמל:

${\bar {y}}={\frac {1}{\bar {z}}}$

מכך נובע:

${\bar {y}}={\frac {1-\Gamma }{1+\Gamma }}\Rightarrow \Gamma ={\frac {1-{\bar {y}}}{1+{\bar {y}}}}$

דיאגרמת סמית לאדמיטנסים נראית כמו זו עבור אימפדנסים, אבל הסקלה מסובבת ב-$180^{\circ }$. לאחר השינוי החלק העליון של המישור מייצג התנהגות קיבולית והחלק התחתון מייצג התנהגות השראותית.

קריאה של דיאגרמת סמית

שימוש בדיאגרמה עבור אימפדנסים

דוגמה של נקודות המשורטטות על דיאגרמת סמית לאימפדנסים

עבור הנקודה $|\Gamma |=0.63,\angle \Gamma =60^{\circ }$, יש צורך לחפש על הסקלה של הזוויות את זו המתאימה ל-$60^{\circ }$ ולמתוח קו ישר בינה לבין ראשית הצירים. קצה הדיאגרמה, לפני הסקלות, מייצג $|\Gamma |=1$, ובעזרת סרגל אפשר למצוא את החלק היחסי המתאים למקדם ההחזרה. כך אם הרדיוס של המעגל הינו 100 מ"מ, יש לחפש על הסרגל את הנקודה 63 מ"מ. נקודה זו מופיעה בשרטוט משמאל בתור $P_{1}$.

כדי לקבל את האימפדנס המתאים לנקודה זו, יש להסתכל בנפרד על החלק הממשי ועל החלק המדומה. עבור החלק הממשי, ניתן לעקוב אחר המעגל הסגור. החיתוך שלו עם הציר האופקי ייתן את הערך: $\Re {\bar {z}}=0.8$. עבור החלק המדומה, יש לעקוב אחר המעגל הפתוח עד החיתוך שלו עם היקף הדיאגרמה, שם רשום החלק המדומה המתאים: $\Im {\bar {z}}=1.4$. סה"כ התקבל האימפדנס המנורמל המתאים: ${\bar {z}}=0.8+j1.4$.

בקובץ שמשמאל מסומנות מספר נקודות המסוכמות בטבלה שלהלן.

זהות הנקודה	מקדם ההחזרה (הצגה פולרית ובאמצעות אקספוננט)	אימפדנס מנורמל (באמצעות פירוק לממשי ומדומה)
$P_{1}$ (רכיב השראותי)	$0.63\angle 60^{\circ }=0.63e^{j{\frac {\pi }{3}}}$	$0.8+j1.4$
$P_{2}$ (רכיב השראותי)	$0.73\angle 125^{\circ }=0.73e^{j{\frac {25\pi }{36}}}$	$0.2+j0.5$
$P_{3}$ (רכיב קיבולי)	$0.44\angle -116^{\circ }=0.44e^{j{\frac {29\pi }{45}}}$	$0.5-j0.5$

שימוש מקביל בדיאגרמה עבור אימפדנסים ועבור אדמיטנסים

ערכים של מקדם החזרה המשורטטים על דיאגרמת סמית לאימפדנסים והערכים המקבילים עבור אדמיטנסים

בפתרון בעיות של תיאום קווי תמסורת עולה במקרה רבים צורך לעבוד גם עם האדמיטנסים וגם עם האימפדנסים במקביל. ניתן להשתמש בדיאגרמה כפולה, המייצגת גם אימפדנסים וגם אדמיטנסים, אולם ניתן גם להשתמש בדיאגרמה אחת כדי להציג את אחותה. כדי לעבור מאימפדנס מנורמל לאדמיטנס מנורמל, יש לבחור את הנקודה שמייצגת את מקדם ההחזרה, ולבחור את הנקודה שנמצאת על אותו המעגל אבל במרחק של $180^{\circ }$ (שימו לב שמדובר במעגל שמרכזו בראשית הצירים ומייצג את $|\Gamma |$). באופן זה, הנקודה $P_{1}$ מהדוגמה הקודמת מועברת לנקודה $Q_{1}$, אשר נותנת באותו האופן ${\bar {y}}=0.3-j0.54$.

באותו אופן ניתן לראות כי הנקודה $P_{10}$ מייצגת את האימפדנס $z=0.1+j0.22$, אשר מתאים לאדמיטנס: ${\bar {y}}=1.8-j3.9$ (מופיע בתור $Q_{10}$ בשרטוט).

לקריאה נוספת

• David M. Pozar, Microwave Engineering, Wiley; 4 edition, 2011, pp.48-72. מסת"ב 0470631554 ‏